【机构秘籍】小学奥数题库《数论》位值原理与进制-位值原理-5星题（含解析）全国通用版

数论-位值原理与进制-位值原理-5星题 课程目标 知识点 考试要求 具体要求 考察频率 位值原理 B 1、了解位值原理的定义 2、能够掌握位值原理表达式的书写方法 3、能够运用位值原理解决综合数论问题 少考 知识提要 位值原理 · 定义 同一数字，由于它在所写的数里位置不同，所表示的数值也不同。也就是说每一个数字除了有自身的一个值外还有一个“位置值”。例如：个位上的数字代表几个一，十位上的数字代表几个十，百位上的数字代表几个百， 这种数字和数位结合起来表示数的原理，称为数的位值原理。 · 表达式： 精选例题 位值原理 1. 在算式 中，不同的汉字代表不同的数字，则 所代表的六位偶数是  ． 【答案】     【分析】    通过位值原理可以算式表示： 去括号后变为： 和 有公因数 ，可以约分成： 此时 和 互质．说明 是205的倍数， 是128的倍数，根据题目要求 本身要为偶数，且这六个数字不可以重复．当 为 的 倍时满足，此时六位偶数为 ． 2. 在一种猜数游戏中，魔术师让小明随意想一个三位数 ，再让小明求出 、、、、 这五个三位数的和，并把所求得的和告诉魔术师，魔术师就能说出小明所想的数是多少．如果小明所求五个三位数的和是 ，那么小明所想的三位数是  ． 【答案】     【分析】    ，即 ，而 ，所以 当 ，， 当 ，，（舍） 当 ，，（舍） 当 ，，（舍） 当 ，，（舍） 所以小明想的三位数是 ． 3. 二十世纪（1900~1999年）的某一天，弟弟对哥哥说：“哥哥，你看，把你出生年份中的四个数字加起来，就是我的年龄．”哥哥接着说：“亲爱的弟弟，你说得对！对我来说 是一样的，把你的出生年份的四个数字加起来就是我的年龄，另外如果把我们各自年龄的两个数字对调一下就能得到对方的年龄．”已知兄弟俩出生的年份不同，那么这段对话发生在   年． 【答案】     【分析】    设哥哥出生于 年，弟弟出生于 年， 哥哥年龄为 弟弟年龄为 由题意，哥哥年龄十位数＝弟弟年龄个位数 哥哥年龄个位数＝弟弟年龄十位数 而哥哥年龄 且为两位数，所以哥哥年龄为 ．弟弟年龄为 ，即 另一方面， 所以 所以 由 知 ， 由 知 ， 所以得出 4. 老师让菲菲从 这 个数字中选取 个不同的数字，组成一个四位数，使得这个四位数能被所有她没有选中的数整除，但不能被选中的任意一个数字整除，那么，菲菲组成的四位数是  ． 【答案】     【分析】    设：改四位数为 ： 显然 不含 ； 含 ．若 不含 ， 除 外不能排列成 的倍数；所以 含 不含 ．若 含 ．说明 不被 整除，所以 的四个数字为 组成的四位数必为偶数，矛盾；所以 不含 ． 含 ．若 不含 ，说明 不被整除 ，则 必须不含 ，所以的四个数字为 不可能被 整 除；所以 含 不含 ．若 含 ，说明 不被整除 ，则 必须含 ，所以 的四个数字为 不可能被 整除；所以 必须不含 含 若 不含 ，说明 不被整除必须不含 ，所以 的四个数字为 ，不可能被 整除；所以 必须不含 含 若 不含 ，则 的四个数字为 ，能被 整除；所以 必含 综上所述．的四个数字为 ．为使这个四位数能被 整除，个位必须为 ；有因为其与都是奇数，根据位值原理，十位数一定为 ；只需验证 两个答案即可．经验证，答案为 5. 非零数字 ，， 能组成 个没有重复数字的三位数，且这 个数的和是 ，则这 个数中的任意一个数都  被 整除（填”能”或“不能”）． 【答案】    不能． 【分析】    ，， 组成的所有三位数都是由 ，， 三个数字组成，且 ，， 在个位、十位、百位都出现两次，所以和应该为： 与题意矛盾，故不能． 6. 今年是 2015 年，小明说：“我现在的年龄正好与我出生那年年份的四个数字之和相同”，则小明现在  岁． 【答案】     或 【分析】    设小明出生的年份为 或 则： ① 若出生年份为 ， 即 ， 为数位上的数字，尝试可知 ，， 即小明年龄为 岁； ② 若出生年份为 ， 即 同理可知 ，， 即小明年龄为 岁． 7. 一个六位数 ，如果满足 ，则称 为“迎春数”（如 ，则 就是“迎春数”）．请你求出所有“迎春数”的总和． 【答案】     【分析】    方法一：显然， 不小于 ，原等式变形为 化简得 ，当 时，，于是 为 ．同理．，可以得到 为 ，，，，． 所有的和是 ． 方法二：显然， 不小于 ，若 ， 为 末尾数字，所以 ； 为 的末 位，所以 ； 为 的末 位，所以 ； 为 的末 位，所以 ； 为 的末 位，所以 ；于是 为 ．同理．，可以得到 为 ，，，，． 所有的和是 ． 8. 由数字 、、 各一个可以组成六个不同的三位数，其中五个三位数的和是 ，那么 是多少？ 【答案】     【分析】    这六个数分别为 、、、、、，这六个数的和是 ，所以 加上另外那个三位数后应该是 的倍数，可能的 的倍数有 、、、，对应的另外那个三位数是 、、、．因为 ，符合；，排除；，排除；，排除．所以 是 ． 9. 已知 是各位数字相同的两位数， 是各位数字相同的两位数， 是各位数字相同的四位数，且 ．求所有满足条件的 ． 【答案】    所有满足条件的数组 为 ，，． 【分析】    设 ，，，其中 ，， 是非零数码，则由 ，可得整数方程： ，即 ，即 ． 因为 ，， 是非零数码 ① ， 由 ，， 是非零数码之条件，解出 ，，； ② ，，由 ，， 是非零数码，解出 或 ， 相应为 、， 相应为 或 ． 故所有满足条件的数组 为 ，，． 10. 把一个两位质数写在另一个不同的两位质数右边，得到一个四位数，这个四位数能被这两个质数之和的一半整除．请问：这样的两个质数乘积最大是多少？最小是多少？ 【答案】    最大是 ，最小是 ． 【分析】    设这两个两位质数分别为 和 ，依题意得 ，即 ，位值原理展开整理得 ，所以 ． 因为 为偶数，且 和 互质，所以 是 的一个偶约数． 的偶约数有 、、、，根据 的大小范围很容易判断出只能是 ，从 开始枚举所有个位数是 、、 的质数，得 ，…，，（根据所问的问题，只要求出相差最大和相差最小的这两组即可）经验证都符合题意，所以这样的两个质数的乘积最大是 ，最小是 ． 11. 一个四位数的各位数字互不相同，将其千位与个位数字调换后形成新的四位数，新四位数与原数的最大公约数是 ，则原四位数可能是多少？ 【答案】    、、、 【分析】    设这个四位数为 ，则千位与个位数字调换后形成的新数是 ．直接分析最大公约数不好分析，先令 ，然后分折 ，位值原理展开化简得 ，所以 ，可能的情况有 接下来先寻找 和 中能被 整除的数，利用整除判定的方法很容易得出 、 和 这三个数符合，下面分别验证．，，，，，，只有 和 这两组符合．注意到这些是在 的前提下得到的，根据对称性，原四位数为 、、、． 12. 一个正整数，如果它的各位数字之和再加上它的各位数字之积恰好等于此数，这样的数叫“奇妙数”，例如 就是一个奇妙数． （1）试求两位数中所有的奇妙数． （2）三位数中是否存在奇妙数，若有，有几个？若无，请说明理由． 【答案】    （1）、、、、、、、 和 ；（2）无 【分析】    （1）设两位奇妙数 ． 则 ，从而 ，所以 ． 因此两位数中的奇妙数为 、、、、、、、 和 ． （2）判断：三位数中没有奇妙数． 说明：设三位奇妙数 ． 由 ，得 ．所以 ． ① 、、 中有一个等于 ，若 ，则 ，（，否则 ） 即 ，从而 或 ．不可能． 同理： 或 均不可能． ② 、、 中有两个为 的倍数，如 ，． 则 ，又 ，从而 ，．由 ① 知，这不可能． 13. 一个整数乘以 后，乘积的最后三位数是 ．这样的整数中最小的是多少？ 【答案】     【分析】    设 有 方法一： 一定是 的倍数，而 的倍数满足其后三位与前面隔开，差是 的倍数． ，那么 一定是 的倍数，且为满足条件的最小自然数． 那么题中所求的最小整数为 方法二：有 的个位 只能是 ，不然其与 的乘积的个位不是 显然有 的个位 与 相乘过程中进有 ，则 的十位 乘以 得到的数的个位为 ，显然只有当 时才能满足． 此时 的十位 与 相乘过程中进有 ，则 的百位 乘以 得到的数的个位为 ，显然只有 于是 而乘以 后得到的积其最后三位数是 而这样的数中最小的是 14. 老王去银行兑现一张支票，结果银行职员疏忽，在支付款项时把百元和千元的数字弄反，而老王也没注意到．在回家的途中，老王花费 元买了一本杂志，回到家才发现口袋里的钱恰好是要兑领支票之金额的两倍．若老王原来口袋里没有钱，请问原来这张支票的金额是多少？ 【答案】     元 【分析】    设原支票的面额是 元，其中 、、、 均为 的数字，并且 ， 是整数．于是根据题意得：，展开变形得到：．即 ．因为等式右边是 的倍数，要使等式成立，必定有 ，于是 ，因为此式右边大小不会超过 ，所以 ，所以化简得 ．于是 是偶数，并且 ，于是 ，．原支票的面额是 元． 15. 一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如 ，， 都是回文数，而 则不是回文数．问：从一位到六位的回文数一共有多少个？其中的第 个数是多少？ 【答案】     个； 【分析】    我们将回文数分为一位、二位、三位、、六位来逐组计算． 所有的一位数均是“回文数”，即有 个； 在二位数中，必须为 形式的，即有 个（因为首位不能为 ，下同）； 在三位数中，必须为 （、 可相同，在本题中，不同的字母代表的数可以相同）形式的，即有 ； 在四位数中，必须为 形式的，即有 ； 在五位数中，必须为 形式的，即有 ； 在六位数中，必须为 形式的，即有 ． 所以共有 ，最大的为 ，其次为 ，再次为 而第 个数为倒数第 个数，即为 所以，从一位到六位的回文数一共有 个，其中的第 个数是 16. 是一个四位数，由四个阿拉伯数字 组成的其他 个四位数的和等于 ，求 和 的值． 【答案】     【分析】    所有 个四位数的和等于 ，因此，除 外，其余 个四位数的和为 所以 ，即 因为 ，即 ，即 ． 同理得 ． 所以 ． 因为 即 ． 所以 解由 ① 和 ② 联立的方程组得 ． 17. 如果一个数包含 到 中的所有数字，就把它成为“十全数”．如果一个“十全数”又满足（1）能被 、、、、、 整除；（2）它与 的和能被 整除，就把它称为“十全大补数”，那么最小的“十全大补数”是多少？ 【答案】     【分析】    十全大补数最小也是 位数，数字 各一个． 末位肯定是 ，利用 的整除特征判断出 和 都不满足条件． 如果这个数是 ，则依然由 的整除特征，、 和 、、 只能分别为 、 和 、、，再由 的整除特征得知这个数只能是 和 ，前者满足其他要求． 18. 一个六位数能被 整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的 个数字重新排列，最少还能排出多少个能被 整除的六位数？ 【答案】     【分析】    设这个六位数为 ，则有 、 的差为 或 的倍数．且 、、、、、 均不为 ，任何一个数作为首位都是一个六位数． 先考虑 、、 偶数位内，、、 奇数位内的组内交换，有 顺序； 再考虑形如 这种奇数位与偶数位的组间调换，也有 顺序． 所以，用均不为 的 、、、、、 最少可以排出 能被 整除的数（包含原来的 ）． 所以最少还能排出 能被 整除的六位数． $