【机构秘籍】小学奥数题库《数论》位值原理与进制-进制-3星题（含解析）全国通用版

数论-位值原理与进制-进制-3星题 课程目标 知识点 考试要求 具体要求 考察频率 进制 B 1、了解进制的概念。 2、熟悉K进制的运算法则。例如十进制、二进制 3、能够进行进制之间的转换。 少考 知识提要 进制 · 进制 十进制：我们常用的进制是十进制，特点是“逢十进一” 二进制：在计算机中所采用的计数法是二进制，特点是“逢二进一”。二进制中只有两个数字 、 ． 还有五进制、八进制、十六进制等． 进制：一般的，对于 进位制，每个数是由 、 、 、 、（ - ）共 个数码组成，且逢 进一。 进制的计数单位是 ． 进制数可以写成不同计数单位的数之和： 进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先算括号内的．（注意：满 进一，借一当 ） · 进制间的转换 十进制整数化为 进制数的方法是：除以   取余数，一直除到被除数小于 为止，余数由下到上按从左到右的顺序排列即为  进制数． 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将  进制数按 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得到结果． 精选例题 进制 1. 将下面的数转化为十进制的数： =  ， =  ， =  ， =  ． 【答案】    ；；； 【分析】    ； ； ； ． 2. 在八进制中，  ； 【答案】     【分析】     3. 、 是自然数， 进制数 和 进制数 相等， 的最小值是  ． 【答案】     【分析】    根据题意，有： ；；则有：，由于出现了数字 ，则 与 均必须大于等于 ．，当 时，． 所以 的最小值为：． 4. ① 在八进制中，   ； ② 在九进制中，  ． 【答案】    ① ；② 【分析】    ① 原式＝ ； ② 5.  ． 【答案】     【分析】    在七进制下， 6. 在 进制中有三位数 ，化为 进制为 ，这个三位数在十进制中是  ． 【答案】     【分析】    因为 ， ， 所以 ，于是 ；因为 是 的倍数， 也是 的倍数．所以 也必须是 的倍数，又 ．所以， 或 ． ① 当 ，则 ；则 ；，并且 、，所以 ，．但是在 ， 进制，不可以有一个数字为 ． ② 当 ，则 ；则 ； 后，．所以 或者 （ 为整数）．因为有 进制，所以不可能有 或者 以上的数，于是 ；，．所以 ，这个三位数在十进制中为 ． 7. 在九进制中，  ． 【答案】     【分析】     8. 日常生活中经常使用十进制来表示数．要用 个数码：，，，，，，，，，．在电子计算机中用二进制，只要两个数码 和 ，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢 进 ”，于是，可以得到一下自然数的十进制与二进制表示对照表： 十进制的 在二进制中还是 ，十进制的 在二进制中还是 ，十进制的 在二进制中变成了 ，十进制的 在二进制中变成了 ， 熟知十进制 个 相乘等于 ，即 ，在二进制中就是 ．那么二进制中的 用十进制表示是  ． 【答案】     【分析】     9. 计算 （  ）10 【答案】     【分析】     10. 在相应的进制下进行加减运算 ① =  ． ②  ． 【答案】    ① ；② 【分析】    ① 十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整 ． 在二进制下，逢 进 ，则有： ② 11. 将下面的十进制数 转化为二进制，七进制，八进制的数分别是  ，  ，  ． 【答案】    ；； 【分析】    除以 倒取余的方法 余 ， 余 ， 余 ， 余 ， 余 ， 余 ； 余 ．所以 转化为二进制后是：； 余 ； 余 ； 余 ，所以 转化为五进制后是：； 由于 余 ， 余 ， 余 ．所以 转化为八进制后为：． 12. 把十进制数 转化为十六进制数为  ． 【答案】     【分析】    我们已经学了十进制数转化为二进制的除二倒取余数法，同样的，将十进制数转化为十六进制数，我们可以采用除十六倒取余数法． 所以，． 13. 在二进制中， 表示 ； 表示 ； 表示 ； 表示 ； 表示 ； 那么在六进制数中， 所表示的十进制数为  ． 【答案】     【分析】    ． 14. 日常生活中经常使用十进制来表示数．要用 个数码：，，，，，，，，，．在电子计算机中用二进制，只要两个数码 和 ，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢 进 ”，于是，可以得到一下自然数的十进制与二进制表示对照表： 十进制的 在二进制中还是 ，十进制的 在二进制中还是 ，十进制的 在二进制中变成了 ，十进制的 在二进制中变成了 ，．那么二进制中的“”用十进制表示是  ． 【答案】     【分析】    二进制化十进制，． 15. 正整数 、、、 可以分别表示 ，，，，它们的上述表示（又称为二进制）中 的个数分别是 ，，，，都是偶数，像 ，，，， 这样的数，称为魔数，前 个魔数（从小到大）的和是  ． 【答案】     【分析】    魔数从小到大排列：，，，，，，，，，，，前 个有 个 在末位， 个 在倒数第二位， 个 在倒数第三位， 个 在倒数第 位， 个 在倒数第 位，和为 ． 16. 请将七进制数 化成五进制的数，将五进制数 化成七进制的数． 【答案】    、． 【分析】     转化为十进制为：；而 余 ， 余 ； 余 ， 余 ，所以 ； 将 转化为十进制为：，而 余 ， 余 ． 而 余 ．所以 转化为七进制数后为：． 17. 计算：（1）；（2）． 【答案】    （1）；（2） 【分析】    （1）列竖式： 得： （2）列竖式： 得： 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】    （1）；（2） 【分析】    （1）列乘法竖式 ，然后列减法竖式，得结果为 ． （2）列除法竖式 ． 19. 一个三位八进制数，把它的数字顺序倒置，所得到的数比原数小 ．满足题意的最大和最小数分别是多少？ 【答案】    最大是 ，最小是 ． 【分析】    设这个数是 ，倒过来是 ． 两者的差，如果是十进制，那么是 ． 对于八进制，，，两者的差为 ． ，， 或者 ，只有 ， 满足题意． 注意，八进制，没有 或者 ，不能有 ．所以 原数是 ．最大是 ，最小是 ——八进制下的． 20. （1）； （2）． 【答案】    （1）；（2） 【分析】    （1）列加法竖式，进位过程中逢 进 即可． 个位为 ，十位 ，其中 变为 进到百位，十位变为 ，依次类推，得到答案 ． （2）列减法竖式，进位过程中借 当 即可． 计算个位方法 减 不够减，向“十位”借 当作 ，然后进行计算：．依次类推，得到答案 ． 21. 用 、、、、 分别代表五进制中 个互不相同的数字，如果 、、 是由小到大排列的连续正整数，那么 所表示的整数写成十进制的表示是多少？ 【答案】     【分析】    由 ，可知没有进位，．由于 ，可知发生进位，说明 ，，．经过分析知 ，，．所以 ． 22. 请将十进制数 转化成二进制、七进制和十六进制的数． 【答案】    、、． 【分析】     余 ， 余 ， 余 ， 余 ， 余 ， 余 ； 余 ．所以 转化为二进制后是：； 余 ； 余 ； 余 ，所以 转化为七进制后是：； 由于 余 ， 余 ．所以 转化为十六进制后为：． 23. 记号 表示 进制的数，如果 是 的 倍，那么 在十进制表示的数是多少？ 【答案】     【分析】    由于 展开后得 解之得 所以 24. 自然数 化为二进制后是一个7位数 ．请问： 等于多少？ 【答案】    ． 【分析】    根据题意，有：，则有：，解之得：，，．所以 为 ． 25. 在十进制的表示中，三个依次增大的两位数恰构成公差为 的等差数列；而在五进制的表示中，这三个数字和是依次减少的．请问：符合这样要求的等差数列有多少个？ 【答案】     个． 【分析】    由于 ，那么这三个两位数的五进制表示不会超过 ，第一个数加上 等于第二个数，也就是加上 ．数字和减少说明发生了进位．下面是五进制中的加法竖式．只有以下两种发生进位的可能． 有些位置可以确定． 在两个竖式中， 都只能是 、 或 ，所以一共有 种可能． 26. ① 把 改写成十进制数． ② 将 改写成十进制数． 【答案】    ① ；② 【分析】    ① 由于所给出的数位数比较多，我们先从低位写起： ② 为了做到不重不漏，我们还是从低位开始写起． 这样的计算公式也适用于其他进制． 27. ； 【答案】     【分析】    本题涉及到 个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜： 28. 某出版社在印刷一本数学科普书的时候，发现他们印刷的页码每一页都只含数字 至 ，即从第一页开始这本书的页码依次为 ，，，，，，，，，，，，．那么这本书的第 页的页码是多少？ 【答案】    ． 【分析】    根据题意，有： $\begin{gathered} 6\left| \!{\underline {\, {365} \,}} \right. \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;6\left| \!{\underline {\, {60} \,}} \right. \cdots 5 \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;6\left| \!{\underline {\, {10} \,}} \right. \cdots 0 \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;6\left| \!{\underline {\, 1 \,}} \right. \cdots 4 \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \cdots 1 \hfill \\ \end{gathered} $ 所以第 页的页码是：． 29. 公元前后，居住在墨西哥东部尤卡坦半岛的玛雅人的记数法是二十进制．他们基本的数字符号仅有两个：“”和“”．“”来自玉米、豆子或卵石的形状，表示 ；“”是豆荚的形状，表示 ．用这两个符号的上、下排列，组成了 各个数字（如下图所示）． 其数字的组成法则是把单位数字符号由下向上记成一行．例如下图所示，① 代表的数为 ，请问 ② 代表的数是什么？ 【答案】     【分析】    ． 30. 算式 是几进制数的加法？ 是几进制数的乘法？ 【答案】    （1） 进制加法；（2） 进制下的乘法． 【分析】    （1）根据题意，，，所以该数是 进制的加法； （2）根据 可知， 余 ． 而由题意知： 所以乘法是 进制下的乘法． 31. 把 、、 改写成十进制数． 【答案】    ；； 【分析】    ； ； ． 32. 计算：（1）；（2）． 【答案】    （1）；（2） 【分析】    （1）列竖式： 得： （2）列竖式： 得： 33. 请将十进制 转化为二进制的数， 转化为三进制的数， 转化为十六进制的数． 【答案】    、、 【分析】     余 ； 余 ； 余 ； 余 ； 余 ； 余 ； 余 ；所以 化为二进制数后为：； 余 ； 余 ； 余 ； 余 ； 余 ； 余 ．所以 化为三进制数后为：； 余 ； 余 ； 余 ．所以将 转化为十六进制后的数应为 ． 34. 在几进制中有 ？ 【答案】     【分析】    利用尾数分析来解决这个问题： 由于 ，由于式中为 ，尾数为 ，也就是说已经将 全部进到上一位． 所以说进位制 为 的约数，也就是 ，，，， 中的一个． 但是式子中出现了 ，所以 要比 大，不可能是 ，， 进制． 另外，由于 ，因为 ，也就是说不到 就已经进位，才能是 ，于是知道 ，那么 不能是 ． 所以， 只能是 ． 35. ① 在七进制下进行加法：； ② 在九进制下进行加法：． 【答案】    ① ；② 【分析】    ① 在七进制下，逢 进 ，则有：； ② 在九进制下，逢 进 ，则有：． 36. 七进制下的 等于十进制的多少： 【答案】     【分析】    十进制下个位每个代表 ，十位每个代表 ，百位每个代表 ． 那么七进制下，个位每个代表 ，十位每个代表 ，百位每个代表 ． 37. 请将三进制数 化成九进制的数，将八进制数 化成二进制的数． 【答案】    ， 【分析】     38. 请将下面的数转化为十进制的数：，，，． 【答案】    、、、． 【分析】    ； ； ； ． 39. 把下面的二进制数改写成十进制数． （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】    （1）；（2）；（3）；（4） 【分析】    （1） （2） （3） （4） 40. 二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，其中二进制数转换成十进制数的方法如下： 那么，将二进制数 转化为十进制数，是多少？（注：，） 【答案】     【分析】     41. （1）在二进制下进行加法：； （2）在七进制下进行加法：； （3）在九进制下进行加法：． 【答案】    （1）；（2）；（3） 【分析】    列竖式即可，注意在 进制下逢 进 ． 42. 将下面五进制的数转 化为十进制的数． 【答案】    ． 【分析】     43. 把下列各数转化成十进制数：（1）；（2）；（3）． 【答案】    （1）；（2）；（3） 【分析】    （1） （2） （3） 44. 计算：（1）； （2）． 【答案】    （1）；（2） 【分析】    （1）列加法竖式，进位过程中逢 进 即可． 个位相加为 ，其中 变为 进到百位，个位剩余 ，依次类推，得到答案 ． （2）列减法竖式，借位过程中借 当 即可．得到答案 ． 45. 售货员把 个乒乓球分装在 个盒子里，使得只要顾客所买的乒乓个数小于 ，他总可以恰好把其中的一盒或几盒卖出，而不必拆盒．问这 个盒子里分别装着多少个乒乓球？ 【答案】     【分析】    一道二进制的题目！需要老师能和二进制结合起来讲解， 或者 ． 46. 一个自然数的四进制表达式是一个三位数，它的三进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反．请问：这个自然数的十进制表示是多少？ 【答案】     【分析】    设这个自然数的四进制表达式为 ，那么它的三进制表达式就是 ，那么有 化简后得 考虑到 、、 都小于 ，只能 ，，．所以 47. 将 写成二进制数． 【答案】     【分析】    如下图： 则 48. （1）在七进制下计算：、； （2）在十六进制下计算：． 【答案】    （1），；（2） 【分析】    列竖式计算即可． 49. 将二进制数 转化为十进制的数． 【答案】    ． 【分析】    ． 50. 六进制下的 等于十进制的多少？ 【答案】     【分析】    十进制下个位每个代表 ，十位每个代表 ，百位每个代表 ． 那么六进制下，个位每个代表 ，十位每个代表 ，百位每个代表 ． 51. 某部队武器库保管员将 发子弹分别放在 个盒子里，一旦需要，只需告诉他需要 之间所需的子弹数，他都可以很快拿出其中若干个盒子，凑出所需的子弹数，而不必打开盒子去数子弹，试问：十个盒子里各应放多少发子弹？ 【答案】    ，，，，，，，，，． 【分析】    若给每个盒子分别放入：，，，， 发子弹，即相当于二进制数中的：，，，，即在十个盒子对应的数位上是 ，而其余位上均为 ．这样我们可以任意抽出： 以内的任何发子弹，但由于现在总共只有 发子弹，所以先在前 个盒子中分别装：，，，， 发子弹，相当于二进制数中的 ，，，， 发子弹，最后一个盒子中只能放 发子弹，即 发子弹．即可凑出 以内的任何数发子弹．所以十个盒子中应分别装子弹数为：，，，，，，，，，． 52. （1）十进制下的 等于二进制的多少？ （2）十进制下的 等于五进制的多少？ 【答案】    （1）；（2） 【分析】    （1）二进制下个位满 就向“十位”进位，“十位”满 后就向“百位”进位，所以 除以 得到的余数就是二进制后的个位，得到的商继续除以 向前进位，得到的余数就是二进制后的“十位”，以此类推． 所以倒取余数，可以得到 （2）五进制下个位满 就向“十位”进位，“十位”满 后就向“百位”进位，所以 除以 得到的余数就是五进制后的个位，得到的商继续除以 向前进位，得到的余数就是五进制后的“十位”，以此类推 所以倒取余数，可以得到 53. 十进制的正整数 ，它的九进制表示为一个三位数 ，它的六进制表示也是一个三位数 ．和请问 的十进制表示是什么？ 【答案】     【分析】    ；． 所以 ，于是 ． 因为 是 的倍数， 也是 的倍数．所以 也必须是 的倍数，则 也是 的倍数，所以， 或 ． ① 若 ，则 ，即 ；由于 ，并且 、 都不为 ，所以 ，，但是在 、 进制下，不可以有一个数字为 ． ② 若 ，则 ，即 ；考虑两边除以 的余数，可知 除以 余 ，那么 除以 余 ，所以 或者 （ 为整数）．因为有 进制．所以不可能有 或者 以上的数字，于是 ． 那么 ，可得 ． 于是 ． 54. 有一架两臂天平与 、、、、、、、 克的砝码，称重时砝码可以任意放在天平秤盘的两侧．现要称一个 克的物品，当天平平衡时，请问与物品在同一秤盘上的砝码总重是多少克？ 【答案】     克 【分析】    利用三进制．因 即 ， 故与物品在同一枰盘上的砝码 克、 克与 克，总重为 克． 55. （1）二进制下的 等于十进制的多少？ （2）八进制下的 等于十进制的多少？ （3）七进制下的 等于十进制的多少？ 【答案】    （1）；（2）；（3） 【分析】    （1）十进制下个位每个代表 ，十位每个代表 ，百位每个代表 ． 那么二进制下，“个位”每个代表 ，“十位”每个代表 ，“百位”每个代表 ． 所以 （2）十进制下个位每个代表 ，十位每个代表 ，百位每个代表 ． 那么八进制下，个位每个代表 ，十位每个代表 ，百位每个代表 （3）十进制下个位每个代表 ，十位每个代表 ，百位每个代表 ． 那么七进制下，个位每个代表 ，十位每个代表 ，百位每个代表 ， 56. 智慧文具公司用以下方式计算原子笔： 支原子笔算为 打， 打原子笔算为 罗，用记号 代表 罗 打又 支原子笔．请问 与 相差多少支原子笔？ 【答案】     【分析】    方法一：本题实际上是一个十二进制计算问题，我们可以将其转化为十进制数计算问题来做，相差的原子笔支数是 ． 方法二：直接用十二进制进行竖式减法后再转化为十进制 ． 57. （1）； （2）． 【答案】    （1）；（2） 【分析】    列乘法竖式，数位相加过程中逢 进 即可． 得到答案 ． （2）列除法竖式，数位相加过程中借 当 即可． 得到答案 ． 58. 已知 、 是自然数， 进制数 和 进制数 相等，请问： 的最小值是多少？ 【答案】     【分析】    由题意，得 ，化简后得 ，这个不定方程的解有 满足条件的最小的解是 所以 ． 59. 用除二倒取余数法将 写成二进制数． 【答案】     【分析】    如下图： 则 60. 一个天平有以下几个砝码：，，，，，，．这个天平最多可以称量多少种重量？ 【答案】     【分析】    能称量的不只是这些个单个砝码或者他们中几个的和，还可以是差．这样我们可以用二进制来表示．这些数分别是 的几次方．就是对应的数位．用这个砝码，我们就记作 ，不用便记作 ．最后表示出来的是一个二进制数，转化成十进制就是可以称量的重量的数目． 这些数的和是 61. 用除二倒取余数法将 写成二进制数． 【答案】     【分析】    要将 写成二进制数，参见下式． 将 除以 ，余数 相应写在右边；再将商 除以 ，余数 相应写在右边；再将这步的商 除以 ，重复上述过程，直到商等于 为止．将“”也写到右边余数那一列的最下面．最后将这列余数由下到上写成一行数，这行数便是 的二进制数表示法．即：． 62. （1）把十进制数 转化为十六进制数； （2）把 化成二进制数． 【答案】    （1）；（2） 【分析】    （1）我们已经学了十进制数转化为二进制的除二倒取余数法，同样的，将十进制数转化为十六进制数，我们可以采用除十六倒取余数法． 所以， （2）要将八进制数转化为二进制数，可以先将八进制数转化为十进制数，再将十进制数转化为二进制数． 所以，． 63. 十进制下的 等于八进制的多少？ 【答案】     【分析】    八进制下个位满 就向“十位”进位，“十位”满 后就向“百位”进位，所以 除以 得到的余数就是八进制后的个位，得到的商继续除以 向前进位，得到的余数就是八进制后的“十位”，以此类推 所以倒取余数，可以得到 64. 表示一个八进制中的数．请问这个数被 除的余数是多少？ 【答案】     【分析】    在八进制中被 除的性质与在十进制中被 除的性质相同．． 65. （1）请将下面的数转化为十进制的数：、； （2）请将十进制数 转化为二进制的数， 转化为三进制的数， 转化为十六进制的数． 【答案】    （1）、；（2），， 【分析】    （1）． ． （2）如下所示，利用短除法进行计算，并记录下每一步的余数，最后把余数从下向上倒序写出即可． $