【机构秘籍】小学奥数题库《数论》位值原理与进制-进制-5星题（含解析）全国通用版

数论-位值原理与进制-进制-5星题 课程目标 知识点 考试要求 具体要求 考察频率 进制 B 1、了解进制的概念。 2、熟悉K进制的运算法则。例如十进制、二进制 3、能够进行进制之间的转换。 少考 知识提要 进制 · 进制 十进制：我们常用的进制是十进制，特点是“逢十进一” 二进制：在计算机中所采用的计数法是二进制，特点是“逢二进一”。二进制中只有两个数字 、 ． 还有五进制、八进制、十六进制等． 进制：一般的，对于 进位制，每个数是由 、 、 、 、（ - ）共 个数码组成，且逢 进一。 进制的计数单位是 ． 进制数可以写成不同计数单位的数之和： 进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先算括号内的．（注意：满 进一，借一当 ） · 进制间的转换 十进制整数化为 进制数的方法是：除以   取余数，一直除到被除数小于 为止，余数由下到上按从左到右的顺序排列即为  进制数． 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将  进制数按 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得到结果． 精选例题 进制 1. 正整数 、、、 可以分别表示 ，，，，它们的上述表示（又称为二进制）中 的个数分别是 ，，，，都是偶数，像 ，，，， 这样的数，称为魔数，前 个魔数（从小到大）的和是  ． 【答案】     【分析】    魔数从小到大排列：，，，，，，，，，，，前 个有 个 在末位， 个 在倒数第二位， 个 在倒数第三位， 个 在倒数第 位， 个 在倒数第 位，和为 ． 2. 现有一个百位为 的三位数（十进制），把它分别化成九进制的数和八进制的数后，仍然是三位数．且首位数字分别为 和 ．请问：这样的三位数中最大的是多少？最小的是多少？一共有多少个？ 【答案】    最大是 ，最小是 ，一共有 个． 【分析】    在十进制下百位为 ，说明这个数在 到 之间．在九进制下首位是 ，说明这个数在 与 之间，即 到 之间．在八进制下首位是 ，说明这个数在 与 之间，即 与 之间．要同时满足这三个条件，最大是 ，最小是 ，一共有 个． 3. 算式 是几进制数的加法？ 是几进制数的乘法？ 【答案】    （1） 进制加法；（2） 进制下的乘法． 【分析】    （1）根据题意，，，所以该数是 进制的加法； （2）根据 可知， 余 ． 而由题意知： 所以乘法是 进制下的乘法． 4. 在 进制中有三位数 ，化为 进制为 ，求这个三位数在十进制中为多少？ 【答案】     【分析】    ；． 所以 ，于是 ． 因为 是 的倍数， 也是 的倍数．所以 也必须是 的倍数，则 也是 的倍数，所以， 或 ． ① 若 ，则 ，即 ；由于 ，并且 、 都不为 ，所以 ，，但是在 、 进制下，不可以有一个数字为 ． ② 若 ，则 ，即 ；考虑两边除以 的余数，可知 除以 余 ，那么 除以 余 ，所以 或者 （ 为整数）．因为有 进制，所以不可能有 或者 以上的数，于是 ． 那么 ，可得 ． 于是 ． 所以．这个三位数在十进制中为 ． 5. 在几进制中有 ？ 【答案】     【分析】    利用尾数分析来解决这个问题： 由于 ，由于式中为 ，尾数为 ，也就是说已经将 全部进到上一位． 所以说进位制 为 的约数，也就是 ，，，， 中的一个． 但是式子中出现了 ，所以 要比 大，不可能是 ，， 进制． 另外，由于 ，因为 ，也就是说不到 就已经进位，才能是 ，于是知道 ，那么 不能是 ． 所以， 只能是 ． 6. 在十进制的表示中，三个依次增大的两位数恰构成公差为 的等差数列；而在五进制的表示中，这三个数字和是依次减少的．请问：符合这样要求的等差数列有多少个？ 【答案】     个． 【分析】    由于 ，那么这三个两位数的五进制表示不会超过 ，第一个数加上 等于第二个数，也就是加上 ．数字和减少说明发生了进位．下面是五进制中的加法竖式．只有以下两种发生进位的可能． 有些位置可以确定． 在两个竖式中， 都只能是 、 或 ，所以一共有 种可能． 7. 有一架两臂天平与 、、、、、、、 克的砝码，称重时砝码可以任意放在天平秤盘的两侧．现要称一个 克的物品，当天平平衡时，请问与物品在同一秤盘上的砝码总重是多少克？ 【答案】     克 【分析】    利用三进制．因 即 ， 故与物品在同一枰盘上的砝码 克、 克与 克，总重为 克． 8. 一个天平有以下几个砝码：，，，，，，．这个天平最多可以称量多少种重量？ 【答案】     【分析】    能称量的不只是这些个单个砝码或者他们中几个的和，还可以是差．这样我们可以用二进制来表示．这些数分别是 的几次方．就是对应的数位．用这个砝码，我们就记作 ，不用便记作 ．最后表示出来的是一个二进制数，转化成十进制就是可以称量的重量的数目． 这些数的和是 9. 一个不超过 的自然数，如果用四进制表示，那么它的数字之和是 ；如果用六进制表示，那么它的数字之和是 ；如果用八进制表示，那么它的数字之和是 ．如果用十进制表示，那么这个数是多少？ 【答案】     【分析】    根据结论：“在 进制中，一个自然数与它的数字和模 同余”，所以这个数 利用物不知数可以求出符合的答案为 、、、…，符合“不超过 ”的只有 和 ，经检验，，，只有 符合． 10. 某部队武器库保管员将 发子弹分别放在 个盒子里，一旦需要，只需告诉他需要 之间所需的子弹数，他都可以很快拿出其中若干个盒子，凑出所需的子弹数，而不必打开盒子去数子弹，试问：十个盒子里各应放多少发子弹？ 【答案】    ，，，，，，，，，． 【分析】    若给每个盒子分别放入：，，，， 发子弹，即相当于二进制数中的：，，，，即在十个盒子对应的数位上是 ，而其余位上均为 ．这样我们可以任意抽出： 以内的任何发子弹，但由于现在总共只有 发子弹，所以先在前 个盒子中分别装：，，，， 发子弹，相当于二进制数中的 ，，，， 发子弹，最后一个盒子中只能放 发子弹，即 发子弹．即可凑出 以内的任何数发子弹．所以十个盒子中应分别装子弹数为：，，，，，，，，，． $