专题03 勾股定理的应用-《讲亮点》2021-2022学年八年级数学上册教材同步配套讲练（北师大版）

《讲亮点》2021-2022学年八年级数学上册教材同步配套讲练《北师大版》 专题03 勾股定理的应用 【教学目标】 1、能应用勾股定理解决一些简单的实际问题； 2、学会选择适当的数学模型解决实际问题。 【教学重难点】 1、应用勾股定理解决实际问题； 2、把实际问题化归成勾股定理的几何模型（直角三角形）； 【知识亮解】 勾股定理的应用 勾股定理的作用 1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2、用于解决带有平方关系的证明问题； 3、与勾股定理有关的面积计算； 4、勾股定理在实际生活中的应用． 亮题一：勾股定理的证明 【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明. 【例1】★下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为，，斜边为，．请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理．你选择的是 图，写出你的验证过程． 【分析】直接利用图形面积得出等式，进而整理得出答案。 【答案】选择的是图2， 证明：，，， 整理，得，．故答案为：2， 【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键． 【例2】★如图图中，不能用来证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【分析】利用图形的面积公式对各选项进行证明，即可求解。 【解析】A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C不符合题意； D、不能利用图形面积证明勾股定理，故符合题意．故答案为：D． 【例3】★★勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下 如图（1）∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2 证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF=b-a。 S四边形ADCB= ， S四边形ADCB= ， ∴ ，化简得：a2+b2=c2 请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明，如图（2）中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2 【分析】 连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a， 根据割补法，由 S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE 及 S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE 分别表示出五边形ABCDE的面积，根据用两种方法表示同一个图形的面积这两个式子应该相等，得出等式，再整理即可得出答案. 【解析】 证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a， ∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE= ab+ b2+ ab， 又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE= ab+ c2+ a（b-a）， ∴ ab+ b2+ ab= ab+ c2+ a（b-a）， ∴a2+b2=c2。 亮题二：利用勾股定理解折叠问题 【例1】★如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将纸片沿折叠，直角边恰好落在斜边上，且与重合，求的面积． 【分析】由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求的长，由三角形的面积公式可求解． 【答案】，， 将纸片沿折叠，直角边恰好落在斜边上，且与重合， ，， 设，则在中，，解得， 即等于，的面积。 答：的面积为 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质是本题的关键． 【例2】★★如图7，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( 　) A． B． C．4 D．5 【答案】C 【例3】★★某同学在制作手工作品的前两个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20cm，宽AB＝16cm的长方形纸片ABCD；②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，请你根据①②步骤计算EC的长为_____． 【答案】6 cm 【例4】★如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为( ) A．4 B．3 C．4.5 D．5 【答案】A 【例5】★如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，求BE的长． 【解析】设BE的长为x， 在Rt△ABC中，BC＝4，∴E