第6讲 多面体与旋转体（巩固基础+能力提升练习）-【教育机构专用】2021年暑期新高二数学辅导讲义（沪教版2020必修第三册）

第6讲 多面体与旋转体 (巩固基础+能力提升练习） 【巩固基础】 一、单选题 1．（全国课时练习）下列几何体中 (　　) A．旋转体3个，台体(棱台和圆台)2个 B．旋转体3个，柱体(棱柱和圆柱)5个 C．柱体3个，锥体(棱锥或圆锥)4个 D．旋转体3个，多面体4个 【答案】A 【解析】(6)(7)(8)为旋转体，(5)(7)为台体． 2．（2012·重庆万州区·（理））在中，（如下图），若将绕直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据旋转体的概念可知，中，，若将绕直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积大圆锥减去小的圆锥的体积，则可知是，选D. 二、双空题 3．（2021·浙江高一单元测试）下列几何体中旋转体__________个，台体（棱台和圆台）__________个． 【答案】 【分析】根据几何体的结构特征判断可得出结论. 【详解】由图可知，（6）（7）（8）为旋转体，（5）（7）为台体． 故答案为：；. 【点睛】本题考查旋转体与台体的判断，属于基础题. 三、填空题 4．（2019·全国高三竞赛）已知的周长为16，那么，将该三角形绕一边旋转所得旋转体的体积最大时，的三边长为______. 【答案】4，6，6 【详解】设绕边旋转所得旋转体的体积最大，则固定，设高， 如图，由，知应最大， 由椭圆定义知， 及 为最大的必要条件， 则，上式等号成立仅当，. 故答案为：4,6,6. 5．（2020·上海静安区·高三一模）设是等腰直角三角形，斜边,现将（及其内部）绕斜边所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_____. 【答案】 【分析】由题意知旋转体为两个同底等高的圆锥组合体，由此求出组合体的体积． 【详解】等腰直角三角形的直角边为，斜边的高为1； 旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1； 所以几何体的体积为V＝2π×12． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转体的结构特征与体积的计算问题，是基础题． 6．（2018·上海市行知中学）如图， △ABC 中， ACB 90 , ABC 30 , BC ，在三角形内挖去一个半圆（圆心 O 在边 BC 上，半圆与 AC，AB 分别相切于点 C，M ，与 BC 交于点 N ），将其绕直线 BC旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体体积为________； 【答案】 【分析】△ABC中解直角三角形可得AC＝1，AB＝2AC＝2．连结OM，可得OM⊥AB，利用OB＝2OM结合题意算出半圆的半径为r等于，再利用圆锥的体积公式和球的体积公式加以计算，即可得到所求旋转体的体积． 【详解】 解：连结OM，则OM⊥AB ∵∠ABC＝30°，BC， ∴AC＝BCtan30°＝1，AB＝2AC＝2 设OM＝r，则OB＝2r ∵OBr，∴2rr，解之得r 因此所得旋转体的体积为 V＝V圆锥﹣V球π×AC2×BC12 故答案为： 【点睛】本题给出特殊图形，求阴影部分旋转所得几何体的体积．着重考查了解直角三角形、圆的切线性质和圆锥、球的体积公式等知识，属于中档题． 四、解答题 7．（2020·全国高一课时练习）如图，直角满足，，，将沿斜边旋转一周得到一个旋转体，试判断该旋转体的形状，并求这个旋转体的表面积和体积. 【答案】.. 试题分析：易知该旋转体是由底面相同的两个圆锥将两底面重合形成的组合体，利用圆锥的表面积体积公式求解即可. 试题解析：该旋转体是由底面相同的两个圆锥将两底面重合形成的组合体. 作斜边的高，根据直角三角形的性质可求得： ，，， . . 8．（2021·江苏高一专题练习）已知直角三角形ABC的斜边长AB=2, 现以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体，当∠A=30°时，求此旋转体的体积与表面积的大小. 【答案】 试题分析：由已知中直角三角形ABC的斜边长AB=2，∠A=30°，判断出以斜边AB为轴旋转一周，所得旋转体的形状是AB边的高CO为底面半径的两个圆锥组成的组合体，计算出底面半径及两个圆锥高的和，代入圆锥体积公式，即可求出旋转体的体积；该几何体的表面积是两个圆锥的侧面积之和，分别计算出两个圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，即可得到答案． 详解：如图以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体是以AB边的高CO为底面半径的两个圆锥组成的组合体 ∵AB=2，∠A=30° ∴CB=sin30°•AB=1，CA=cos30°•AB=， CO== 故此旋转体的体积V=•πr2•h=•π•CO2•AB= （2）又∵CB=1，CA=， 故此旋转体的表面积 S=πr•（l+l′）=πCO•（AC+BC）=（3+）π． 点睛：本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积和表面积，其中根据已知判