知识点08 函数的概念和图像-2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲+例+测（苏教版2019必修第一册）

2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册） 知识点8函数的概念和图象 讲 教材知识梳理 函数的概念 概念 给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数 对应关系 y＝f(x)，x∈A 对应关系相同，定义域相同的两个函数就是同一个函数 定义域 集合A(自变量x的取值范围) 值域 若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应．我们将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域. 理解函数的概念应关注三点 (1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数． (2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式． (3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数． 函数的图象 函数图象的含义 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象． 常见函数的定义域和值域 1．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. 2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 3．反比例函数f(x)＝(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}． 求函数值域的方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到． (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法． (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． (4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域 例 例题研究 一、求函数值或值域 题型探究 例题1 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，然后分和判断函数的单调性，再求出其最小值，从而可求出其值域，进而可求出的取值范围 【详解】 解：， 当时，在上单调递增， 所以，此时， 当时，由， 当且仅当，即 时取等号， 因为在上单调递增， 若的值域为，则有，即，则， 综上，， 所以实数的取值范围为 故选：A 【点睛】考查函数值域的求法，考查基本不等式的应用，解题的关键是对函数变形为，然后分和讨论函数的单调性，求出函数的值域，考查转化思想和计算能力，属于中档题 例题2 函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先对函数分离常数化简，即可求出值域. 【详解】 ，因为，所以，所以，所以函数的值域是. 故答案为：A 【点睛】考查值域的求法，解题的关键是先分离常数，属于常规题型. 跟踪训练 训练1 设，，其中为实数，则下列命题中，正确的是（ ） A．若函数的值域为，则. B．若函数的值域为，则. C．存在实数且，使函数的值域为. D．存在实数且，使函数的值域为. 【答案】D 【分析】取，可得的值域为，可判断A错误，D正确；取，可得的值域为，可判断B错误；根据的函数值不可能无限小，可判断C错误. 【详解】 对于A，取，，， 则，可得的值域为，故不满足， 故A错误，同时也说明D正确； 对于B，取，，， ，可得的值域为，故不满足，故B错误； 对于C，当或时，的最小值是，当 ，的取值在和之间，则可得的函数值不可能无限小，即不可能为，故C错误. 故选：D. 【点睛】考查含有参数的复合函数的值域问题，其中涉及分段函数，解决本题的关键是选取有代表性的特殊值，根据特殊值时的值域判断，这也是解决多数问题的有效方法. 训练2 函数f(x)＝的值域为(　　) A．[－,] B．[－,0] C．[0,1] D．[0,] 【答案】C 【解析】 令，则的几何意义是单位圆(在轴及其上方)上的动点与点连线的斜率，由图象，得，即函数的值域为[0,1]，故选C. 点睛：考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用的形式和平方关系联想到三角代换，二是由的形式联