知识点07 指数与对数-2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲+例+测（苏教版2019必修第一册）

2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册） 知识点7指数与对数 讲 教材知识梳理 指数 根式--------　n次方根，根式 1．a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫作a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式的性质------根式的性质是化简根式的重要依据 (1)负数没有偶次方根． (2)0的n次方根等于0，记作＝0. (3)()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)＝a(n为大于1的奇数)． (5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 4.指数幂的运算 对有理数指数幂的运算性质的三点说明： (1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为： ①同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ②幂的幂，底数不变，指数相乘； ③积的幂等于幂的积． (2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘． (3)化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数． 指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质． 对数 1.对数的定义： 一般地，如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．如图所示： 2.对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． 3.对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法 ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 4.对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 解决对数应用题的一般步骤 例 例题研究 一、由根式化简求值 题型探究 例题1 若，则实数a的取值范围是(　　) A．a∈R B．a＝ C．a＞ D．a≤ 【答案】D 【分析】由∵=，可得|1﹣2a|=1﹣2a，于是2a－1≤0，解出即可． 【详解】 左边＝， 所以|2a－1|＝1－2a，即2a－1≤0. 所以a≤. 故选D 【点睛】本考查根式的运算性质、绝对值的性质 例题2 下列说法正确的个数是（ ） ①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据根式的概念和性质求解. 【详解】 ①16的4次方根应是±2；②=2， 由根式的性质得③④.正确. 故选：B 【点睛】考查根式的概念和性质 跟踪训练 训练1 若则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知等式化简为，可得，从而求得结果. 【详解】 ，解得： 即的取值范围为 故选 【点睛】本题考查根式的化简求值问题 训练2 若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 根据根式和指数幂的运算性质，因为， 可化为，即， 可得，所以，即． 故选：B. 【点睛】根据根式与指数幂的运算性质，化简得到，即可求解. 二、根式与分数指数幂的互化 题型探究 例题1 化简的结果为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】先看根式下的式子易得，再结合分数指数幂的意义，，可对中括号里面的式子进行化简；再根据指数幂的运算性质，将上式的结果化简，继而得到原式的值. 【详解】 解：， 故选：B. 【点睛】考查的是实数指数幂的化简运算，考生要掌握实数指数幂的运算性质以及分数指数幂的意义. 例题2 化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化根式为分数指数. 【详解】 由题意得. 故选:B. 【点睛】考查根式与分数指数的转化 跟踪训练 训练1 根式（式中）的分数指数幂形式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由根式和