1.5 平面上的距离-2021-2022学年高二数学尖子生同步培优题典（苏教版2019选择性必修第一册）

1.5 平面上的距离 提示：本卷题型为8（单选）+4（多选 ）+4（填空）+6（解答） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知 的顶点为A（2，1），B(-2，3)，C(0，-1)，则AC边上的中线长为（ ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】 先求出AC的中点为D,求出D的坐标，利用两点间的距离公式求出AC边上的中线长. 【详解】 设AC的中点为D， 因为A（2，1），C(0，-1)，所以 , 所以AC边上的中线长 . 故选：B 2．已知平面上两点 ， ， ，则 的最小值为（ ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】 利用两点间距离公式，结合配方法进行求解即可. 【详解】 根据题意，平面上两点 ， ， ， 则 ，则有 ， 则 的最小值为 ， 故选：D. 3．已知点 ， ，点 在 轴上，则 的最小值为（ ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】 点 ， ，点 在 轴上， 点 关系 轴的对称点为 ， . 故选：B. 4．已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C ，则△ABC的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．斜三角形 【答案】C 【分析】 先求出直线 ， 的斜率，从而可得kAC·kBC＝－1，再求出 ,进而可得三角形的形状 【详解】 因为kAC＝ ＝ ，kBC＝ ＝－ ，kAC·kBC＝－1，所以AC⊥BC. 又AC＝ ＝ a，|BC|＝ ＝a， 所以△ABC为直角三角形． 故选：C 5．已知直线 恒经过定点 ，则点 到直线 的距离是（ ） A．6 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】 把直线方程整理为关于 的方程，由恒等式知识求得定点 坐标，然后由点到直线距离公式求解． 【详解】 由直线方程 变形为： ， 由 ，解得 ， 所以直线 恒经过定点 ， 故点 到直线 的距离是 ， 故选：B. 6．已知直线 与直线 和 的距离相等，则 的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设所求直线方程为： ，根据该直线与 和 的距离相等，建立方程 求解可得选项. 【详解】 设所求直线l方程为： ， 因为直线l与 ； 距离相等，所以 ，解得 ， 所以所求直线方程为： ， 故选：D. 7．设直线 ， 为直线 上动点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用 的几何意义，通过数形结合即可得解. 【详解】 表示点 到点 距离的平方， 该距离的最小值为点 到直线 的距离，即 ， 则 的最小值为 . 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题考查点到线的距离公式，利用两点之间距离的几何意义，通过数形结合是解题的关键，属于基础题. 8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 ，若将军从山脚下的点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先求点 关于直线 对称的点 ，再根据两点之间线段最短，即可得解. 【详解】 如图，设 关于直线 对称的点为 ， 则有 ，可得 ，可得 ， 依题意可得“将军饮马”的最短总路程为 ， 此时 ， 故选：B. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．若两条平行直线 ： 与 ： 之间的距离是 ，则 的可能值为（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】 由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，相加即可得到答案. 【详解】 由题意， ， ，所以 ，所以 ： ，即 ， 由两平行直线间的距离公式得 ，解得 或 ， 所以 或 . 故选：AB 【点睛】 本题考查两直线的位置关系以及平行直线间的距离公式，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 10．等腰直角三角形 的直角顶点为 ，若点A的坐标为 ，则点B的坐标可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】 设 ，根据 和 可求得 点坐标． 【详解】 设 ，根据题意可得 即 解得 或 所以 或 . 故选：AC． 【点睛】 本题考查两直线垂直的条件，考查两点间距离公式，属于基础题． 11．已知平面上一点 ，若直线上存在点 ，使 ，则称