§3 3．1 不等式的性质-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（北师大版）课件PPT

北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 §3　不等式 3．1　不等式的性质 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 课标要求 素养达成 1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，会用不等式及不等式组表示不等关系． 2．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式的大小． 3．掌握不等式的性质，能运用不等式的性质解决问题. 通过对不等关系的学习，提升学生的数学建模、逻辑推理素养. 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [教材提炼] 知识点一　比较两个实数a，b大小的依据 预习教材，思考问题 (1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？ 提示：是． (2)若“b－a>0”，则a，b的大小关系是怎样的？ 提示：b>a.　 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 知识梳理 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 知识点二　不等式的性质 预习教材，思考问题 (1)a≤b和a≥b的含义是什么？ 提示：①不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“或者a<b，或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a<b与a＝b之中有一个正确，则a≤b正确． ②不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“或者a>b，或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即若a>b与a＝b之中有一个正确，则a≥b正确． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 (2)性质6中，去掉条件，性质还成立吗？ 提示：“a>b>0⇒>(n∈N＋，n≥2)”成立的条件是“n为大于或等于2的自然数，a>b>0”，假如去掉“n为大于或等于2的自然数”这个条件，取n＝－2，a＝9，b＝4，那么就出现>，即>的错误结论；假如去掉“b>0”这个条件，取a＝3，b＝－5，n＝2，那么无意义，故性质不成立． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 a>c > > < 知识梳理　性质1　a>b，b>c⇒ (传递性) 性质2　a>b⇒a＋c b＋c(同加保序性) 性质3　①⇒ac bc(乘正保序性) ②⇒ac bc(乘负反序性) 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 > > 性质4　a>b，c>d⇒a＋c b＋d(同向相加保序性) 性质5　①⇒ac bd(正数同向相乘保序性) ②⇒ac<bd(异向相乘反序性) 推论　a>b>0⇒an>bn(n∈N＋，n≥2)(非负乘方保序性) 性质6　a>b>0⇒>(n∈N＋，n≥2)(非负开方保序性) 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 题型一　作差法比较大小 [典例]　若规定＝ad－bc(a，b∈R，a≠b)，则与的大小关系为________． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [解析]　因为＝a2－(－b2)＝a2＋b2，＝ab－(－ab)＝2ab，所以－＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.因为a≠b，所以(a－b)2＞0，所以＞. [答案]　＞ 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 作差法比较大小的步骤 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [跟踪训练] 1．x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小关系是________． 解析：因为(x2＋y2＋1)－2(x＋y－1)＝(x－1)2＋(y－1)2＋1>0，所以x2＋y2＋1>2(x＋y－1)． 答案：x2＋y2＋1>2(x＋y－1) 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 2．设m＝2a2＋2a＋3，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是________． 解析：m－n＝2a2＋2a＋3－(a＋1)2＝a2＋2>0，故m>n. 答案：m>n 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 3．(1)已知a，b∈R，试比较a4－a3b与ab3－b4的大小； (2)已知a＞1＞b＞0，试比较，，，的大小． 解析：(1)∵(a4－a3b)－(ab3－b4)＝a(a3－b3)－b(a3－b3)＝(a－b)(a3－b3)＝(a－b)2(a2＋ab＋b2)＝(a－b)2≥0， ∴a4－a3b≥ab3－b4. 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 (2)分析知，均大于1，，均小于1， ∵＝a＞1，∴＜.∵＝b＜1，∴＜. 综上，＜＜＜. 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 题型二　不等式性质的应用 [典例1]　若a<b<0，则下列不等式中不成立的是(　　) A．a2>b2 B.> C.> D．a5＋b5<a2b3＋a3b2 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [答案]　B [解析]　由于a<b<0，则|a|>|b|，即a2>b2，故A成