专题一 勾股定理-2021-2022学年八年级数学上册专题分类考点培优（北师大版）

八年级北师大版上册第一章勾股定理培优专题 一、勾股定理的应用（最短路径） 1．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点在棱上，且，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程的平方为（ ） A．400 B．424 C．136 D．324 【答案】A 【解析】 【分析】 利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可． 【详解】 解：如图1， ∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm， ∴BM=18-6=12，BN=10+6=16， ∴ 如图2， ∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm， ∴PM=18-6+6=18，NP=10， ∴． ∵因为，所以蚂蚁沿长方体表面从点爬行到点的最短距离的平方为400.故选：A． 【点睛】 此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键． 2．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm． 【答案】15. 【分析】 过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可． 【详解】 沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH， 过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， ∵AE=A′E，A′P=AP， ∴AP+PC=A′P+PC=A′C， ∵CQ=×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm， 在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C==15cm， 故答案为15． 3．有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵． (1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注； (2)试求小虫爬行的最短路程． 【答案】(1)如图所示见解析，AQ→QG为最短路线；(2)小虫爬行的最短路程为100 cm. 【分析】 (1)根据轴对称性质,通过作对称点将折线转化成两点之间线段距离最短. (2)根据AE＝40cm,AA′＝120cm,可得:A′E＝120－40＝80(cm),再根据EG＝60cm,可得:A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,A′G＝100cm,进而可得:AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm. 【详解】 (1)如图所示,AQ→QG为最短路线, (2)因为AE＝40cm,AA′＝120cm,所以A′E＝120－40＝80(cm), 因为EG＝60cm,所以A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000, 所以A′G＝100cm,所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm, 所以小虫爬行的最短路程为100cm. 【点睛】 本题主要对称性质和勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用轴对称性质和勾股定理解决实际问题的方法. 勾股定理的实际应用 4．有一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米. （1）这辆卡车能否通过此桥洞？试说明你的理由. （2）为了适应车流量的增加，想把桥洞改为双行道，并且要使宽1.2米，高为2.8米的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 【答案】(1)能通过，理由见解析；(2) 桥洞的宽至少应增加到2.6米. 【分析】 （1）如图①，当桥洞中心线两边各为0.8米时，由勾股定理得方程，解出x的值，再用x+2.3与卡车的高2.5作比较即可； （2）如图②，在直角三角形AOB中，已知OB=1.2，AB=2.8－2.3=0.5，由此可求OA的长，即桥洞的半径，再乘以2即得结果. 【详解】 解：（1）能通过.理由如下：如图①所示，当桥洞中心线两边各为0.8米时，由勾股定理得，解得，∵，∴卡车能通过. （2）如图②所示，在直角三角形AOB中，已知OB=1.2，AB=2.8－2.3=0.5，由勾股定理得：，∴， ∴桥洞的宽至少应增加到（米）. ① ② 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，画出图形，弄清相关线段所表示的实际数据. 5．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一