专题1.12 不等式的性质-重难点题型精讲-2021-2022学年高一数学举一反三系列（北师大版2019必修第一册）

专题1.12 不等式的性质-重难点题型精讲 1．两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 3．不等式的性质 (1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 【题型1 不等关系的建立】 【方法点拨】 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【例1】（2020秋•潍坊期中）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（　　） A．a+b+c＞130 B．a+b+c＜130 C．a+b+c≥130 D．a+b+c≤130 【分析】根据题意列出不等式即可． 【解答】解：由题意可知a+b+c≤130． 故选：D． 【变式1-1】（2020秋•吉林期末）在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜．已知a克糖水中含有b克糖（a＞b＞0），再添加m克糖（m＞0）（假设全部溶解），可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式（　　） A． B． C． D． 【分析】下列不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，利用溶液浓度计算公式即可得出结论． 【解答】解：下列不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，因此正确． 故选：B． 【变式1-2】（2020秋•榆阳区校级月考）如图所示的两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b（a≠b）的不等式表示为 　． 【分析】利用三角形的面积计算公式、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，面积S1． 图（2）是一个矩形，面积S2＝ab． 可得：（a2+b2）＞ab（a≠b）． 故答案为：（a2+b2）＞ab（a≠b）． 【变式1-3】有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如表： 效果方式种类 轮船运输量/t 飞机运输量/t 粮食 300 150 石油 250 100 现在要在一天内至少运输2000t粮食和1500t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式． 【分析】设不二元变量，结合条件建立不等式组之间的关系即可得到结论． 【解答】解：设轮船艘数为x，飞机架数为y， 则根据题意，可知x，y满足的不等式组为 【题型2 利用不等式的性质判断正误】 【方法点拨】 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 【例2】（2021•中卫一模）下列四个命题： ①若a＞|b|，则a2＞b2 ②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d ③若a＞b，c＞d，则ac＞bd ④若a＞b＞0，c＜0，则 其中正确命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①由a＞|b|，利用不等式的性质可得a2＞b2； ②由a＞b，c＞d，利用不等式的性质可得a+c＞b+d，即可判断a﹣c＞b﹣d是否正确； ③取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3，满足a＞b，c＞d，即可判断出； ④由a＞b＞0，c＜0，利用不等式的性质可得，﹣c＞0，于是，因此． 【解答】解：①∵a＞|b|，∴a2＞b2，故正确； ②∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d，因此a﹣c＞b﹣d不正确； ③取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3，满足a＞b，c＞d，但是ac＝﹣4＜bd＝﹣3，故不正确； ④∵a＞b＞0