第2讲 矩形的性质与判定-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第2讲 矩形的性质与判定 SHAPE \* MERGEFORMAT 理解矩形、概念和判定定理； 2．灵活运用矩形、性质进行证明和计算． SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点01 矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【知识拓展】例1.如图，已知矩形 中，E是 上一点，F是 上的一点， ，且 ． （1）求证： ． （2）若 ，矩形 的周长为 ，求 的长． 【答案】（1）见解析；（2）7cm 【详解】 解：（1）证明：∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°， ∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°， ∴∠AEF=∠ECD． 在Rt△AEF和Rt△DEC中， ∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC． ∴△AEF≌△DCE（AAS）． （2）∵由（1）可得△AEF≌△DCE． ∴AE=CD． ∴AD=AE+5． 又∵矩形ABCD的周长为38cm， ∴2（AE+AE+5）=38cm． ∴AE=7cm． 答：AE的长为7cm． 知识点02 矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 【知识拓展】例2．已如，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）若BC=8，AO= ，求四边形AEBC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）18 【详解】 （1）∵AE∥BC，BE∥AD， ∴四边形ADBE是平行四边形． ∵AB=AC，AD是BC边的中线， ∴AD⊥BC． 即∠ADB=90°． ∴四边形ADBE为矩形． （2）∵在矩形ADBE中， AO= ， ∴DE=AB= 5． ∵D是BC的中点， ∴AE=DB=4， ∴根据勾股定理 ， ∴ ． 知识点03 矩形折叠问题 【知识拓展】例3．如图，将矩形 沿对角线 翻折，点 落在点 处， 交 于 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】 解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠B=∠D=90°， ∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处， ∴∠F=∠B，AB=AF， ∴AF=CD，∠F=∠D， 在△AEF与△CDE中， ， ∴ （AAS）； （2）∵ ， ， ∴CF=BC=8，AF=CD=AB=6， ∵ ， ∴AE=CE=8-DE， ∴在Rt△CDE中，DE2+CD2=CE2，即DE2+62=（8-DE）2， ∴DE= ， ∴AE= ， ∴图中阴影部分的面积= ． 知识点04与矩形有关的面积问题 【知识拓展】例4.[关注数学文化]数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》） （1）请根据如图1完成这个推论的证明过程， 证明：S矩形NFGD＝ ， S矩形EBMF＝ ﹣（　 　+　 　）． 易知， ，　 　＝　 　，　 　＝　 　． 可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF （2）如图2，点P是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点P作EF∥BC分别交AB，CD于点E、F，连接PA，PC．若PE＝5，DF＝4，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） ；（2）20 【详解】 （1）解：S矩形NFGD＝S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC）， S矩形EBMF＝S△ABC﹣（S△AEF+S△FMC）． 易知，S△ADC＝S△ABC，S△ANF＝S△AEF，S△FMC＝S△FGC． 可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF； 故答案为：S△AEF，S△FMC；S△ANF，S△AEF，S△FMC，