第19讲 反比例函数-讲义（学生版+教师版）2021-2022学年九年级数学人教版下册

第19讲 反比例函数 知识导航 1.反比例函数的定义和解析式；2.反比例函数的图象和性质； 3.反比例面数与方程及不等式；4.反比例函教与神奇的几何性质； 5.反比例函数与直线y＝a或x＝a；6.反比例函数与全等相似； 7.反比例函数与图形变换；8.反比例函数与定值及最值。 【板块一】反比例函数的定义和解析式 方法技巧 根据定义解题 1.定义：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 2.解析式：（k≠0）或xy＝k（k≠0）或 （k≠0）. 题型一根据定义判断反比例函数 【例1】下列函数：① ；@；③；④；⑤； ⑥ ；⑦； ⑧；⑨ .其中y是x的反比例函数的有 （填序号）. 【解析】②③④⑦⑧. 题型二根据定义确定k值或解析式 【例2】（1）反比例函数 ，化为的形式，相应的k＝ ； （2）函数中，当x＝2时，y＝3，则函数的解析式为 【解析】（1） ；（2）. 题型三根据定义确定待定系数的值 【例3】（1）如果函数 是关于x的反比例函数，则m的值为 （2）若函数 （m为常数）是关于x的反比例函数，求m的值及函数的解析式。 【解析】（1）－1；（2）m＝2，y＝4x. 针对练习1 1.下列函数中，为反比例函数的是（B） A. B. C. D. 答案：B 2.反比例函数y＝一化为的形式后，相应的k＝ 答案： 3.若关于x的函数 是反比例函数，求m的值 答案：3. 【板块二】反比例函数的图象和性质 式 抓住反比例函数的性质并结合图象解题 一般地，对于反比例函数，由函数图象，并结合解析式，我们可以发现： 1.图象分布 当k＞0时，x，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线；当k＜0时，x，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线。因此反比例函数的图象也叫做双曲线. 答案：同号；一三；异号；二四. 2.对称性 若点（a，b）在反比例函数的图象上，则点 ， ， 也在此图象上，故反比例函数的图象关于直线 ， 对称，关于点 成中心对称。 答案：（b，a），（－b，－a），（－a，－b）；y＝x，y＝－x；（0，0） 3.增减性 当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而 ； 当k＜0时，在每一个象限内，y随x的增大而 。 答案：减小；增大 题型一反比例函数的增减性 【例1】在反比例函数 的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜0＜x2，y1＞y2，则m的取值范围是（） A. B. C. D. 【解析】A.根据条件x1＜0＜x2，y1＜y2，可判断其围象位于二、四象限，∴1－8m＜0，∴m＞ 【例2】已知反比例函数 . （1）画出这个反比例的图象； （2）当－6≤x＜－2时，y的取值范围是 ； （3）当 时，x的取值范围是 . 【解析】（1）图略；（2）1≤y＜3；（3）－2＜x＜0或0＜x≤2. 题型二反比例函数的圈象的对称性 【例3】如图，直线y＝ax（a≠0）与双曲线交于A，B两点，试说明A.B两点关于原点对称. 【解析】联立得ax2－k＝0，∴xA＋xB＝0，过A，B两点分别作x轴的垂线，由全等即可得OA＝OB，∴A，B两点关于原点对称。 题型三反比例函数的图象与系数的关系 【例4】如图，反比例函数①，②，③，④的部分图象如图所示，则k1，k2，k3，k4的大小关系是 【解析】k1＜k2＜k3＜k4.越大，其图象离坐标原点越远。 题型四反比例函数中k的几何意义 如图，过双曲线上任意一点P作x轴，y轴的垂线段PM，PN，则所得的矩形PMON的面积 ，即在反比例函数的图象上任取一点向两坐标轴作垂线段，则两垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于，且这个面积的值与取点的位置无关. 特别地，S△PMO＝S△PNO＝. 【例5】如图，平行于x轴的直线AB与双曲线和在第一象限内交于A，B两点，若S△OAB＝2，求k1－k2的值. 【解析】延长AB交y轴于点C，则k1－k2＝4. 【例6】如图，直线 与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为－4. （1）求k的值； （2）过原点的另一直线交双曲线于P，Q两点，点P在第二象限。若A，B，P，Q四点组成的面积为24，求P的坐标. 【解析】（1）A（－4，2），k＝－8； （2）易知四边形APBQ是平行四边形，∴S△APO ＝6，过点A作AD⊥x轴于点D，过点P作PE⊥x轴于点E，设P（a， ），则 ，∴a1＝8，a2＝－2，