第17讲 正多边形与圆、弧长和扇形的面积-讲义（学生版+教师版）2021-2022学年九年级数学人教版上册

第17讲 正多边形与圆、弧长和扇形的面积 1．正多边形的计算问题转化为三角形的计算问题，熟练掌握正多边形中各个量之间的关系； 2．掌握并灵活运用弧长和扇形面积公式，合理进行图形的分解与组合； 3．掌握与圆锥侧面展开图相关问题的计算方法，领悟将立体图形问题转化为平面图形问题的思想方法． 【板块一】 正多边形与圆 (1)如图，设正n边形A1A2A3…An的边长为an，半径为Rn，边心距为rn，中心角为n，周长为Cn，面积为Sn．则：①＝＋()2；②n＝；③Cn＝nan；④Sn＝nanrn＝Cnrn； (2)与正多边形相关的计算和证明问题常常转化为三角形的问题解决； (3)外接圆的半径(正多边形的半径)往往是解决问题的“中间量”，面积法是方程思想运用中常见的方法． 【例1】如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H， 求的值． 【解析】连接CA交EF于点P，则CA是⊙O的直径，∴AC垂直平分EF， 设⊙O的半径为R，则OP＝R，EF＝2EP＝R，∴CP＝OC－OP＝R， ∵∠GCP＝∠HCP＝45°，∴GH＝2CP＝R，∴＝＝． 【例2】如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形 EFGHIJ可绕点O任意旋转，在旋转的过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内(包括正方形的边)，当这个正六边形的边长最大时，求AE的最小值． 【解析】当正六边形 EFGHIJ 的外接圆⊙O与正方形ABCD的各边都相切时，这个正六边形的边长最大，连接OA，则OA＝，∴当点E旋转到OA上时，AE最小，且最小值为OA－OE， 又∵当⊙O与正方形各边相切时，OE＝AB＝，∴AE的最小值为－＝． 【例3】如图，正五边形 ABCDE 的边心距OG＝，AH⊥BC于点H，求AH＋AG的值． 【解析】由正多边形的轴对称性知:点O在AG上，连接AC，AD，OC，OD， 设正五边形的边长为a，则S△OCD＝a・OG＝a，∴S五＝5S△OCD＝a， 易证△ABC≌△AED，∴S△ABC＋S△AED＝aAH， ∴S五＝S△ABC＋S△AED＋S△ACD＝aAH＋aAG＝a(AH＋AG)， ∴a＝a(AH＋AG)，∴AH＋AG＝． 针对练习1 1．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是_． 答案： 2．如图，正六边形 ABCDEF中，点P是边ED的中点，连接AP，则的值是_______． 答案： 解：连接AE，则∠FEA＝∠FAE＝30°，∴∠AEP＝90°， 设正六边形的边长为2a，则EP＝a，AE＝EF＝2a， ∴ AP＝＝a，∴＝＝． 3．如图，正八边形 ABCDEFGH的半径为2，求该正八边形的面积． 解:连接OB，OC，则∠BOC＝＝45°，过点C作CM⊥OB于点M， 则CM＝OC＝，∴S△OBC＝OBCM＝，∴S正八边形＝8S△OBC＝8． 4．如图，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2，其中T1的6个顶点都在⊙O上，T2的6条边都与⊙O相切(T1，T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形)，则正六边形T1与T2的面积之比为_______． 答案： 解:设⊙O的半径为R，T1的一条边为AB，T2的一条边为CD，连接OA，OB，OC，OD，易求AB＝R，CD＝R，∴S△AOB＝R2，S△COD＝×()2＝R2，∴＝＝． 5．如图，正△ABC的边长为12，剪去三个角后成为一个正六边形，求这个正六边形的内部任意一点到各边的距离之和． 解:由题意知正六边形的边长为4，面积S＝6××42＝24， 设这个正六边形的内部任意一点P到各边的距离分别为d1，d2，d3，d4，d5，d6， ∴×4×(d1＋d2＋d3＋d4＋d5＋d6)＝S，∴d1＋d2＋d3＋d4＋d5＋d6＝12． 6．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，试探究正六边形AnBnCnDnEnFn的面积(结果用含n的代数式表示)． 解:由正六边形的性质知A1C1＝A1B1＝，A2B2＝A1C1＝， 设正六边形的面积依次为S1，S2，…Sn，则＝＝3，即S2＝S1， 同理可证：S3＝S2＝()2S1，…，∴Sn＝()n－1S1，∵S1＝6××12＝，∴Sn＝． 【板块二】弧长和扇形面积 （1）灵活运用弧长和扇形面积公式解决问题； （2）利用“割补法”求不规则图形面积时，常常运用同底（等底）同高（等高）进行等积转化； （3）解决与圆锥相关的问题时，“化曲面为平面”（侧面展开图）的转化思想是核心． 题型一　与弧有关的不规则图形的面积 【例1】点A是半径为2的⊙O的直径MN的延长线上一点，点B，