第3讲 实际问题与一元二次方程-讲义（学生版+教师版）2021-2022学年九年级数学人教版上册

第3讲 实际问题与一元二次方程 【知识导航】 面积问题，增长率问题，传染问题，循环及握手问题，经济问题等． 【板块一】面积问题 【方法技巧】 注意题目中隐含条件，用平移表示矩形的长度． 【题型一 围栏靠墙】 【例1】如图，要建一个矩形的鸡场ABCD，鸡场的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，墙的长度为14m，墙的对面开一个1m宽的门，现有竹篱笆总长31m． (1)若要围成的鸡场面积为120m2，求鸡场的长和宽各是多少m？ (2)当边AB的长为______m时，鸡场面积最大，最大面积为______ m2 答案： (1)设鸡场的宽AB为xm，则BC＝(31－2x＋1)m，依题意得， x(31－2x＋1)＝120, 解得x1＝6，x2＝10，由0＜31－2x＋1≤14得9≤x＜16，∴x＝10． 答：长为12m，宽为10m． (2)S＝x(31－2x＋1)＝－2(x－8)2＋128，当x＝8时，S有最大值为128． 【点评】矩形开口就是增加长度，要注意取值范围． 【题型二 矩形中通道】 【例2】如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为2：3．如果要彩条所占面积是图案面积的19％，问横、竖彩条的宽度各为多少？ 答案：设横彩条的宽为2xcm，竖彩条的宽为3xcm，依题意，得： (20－2x)(30－3x)＝81%×20×30．解之，得x1＝1，x2＝19 当x＝19时，2x＝38＞20，不符题意，舍去．所以x＝1 答：横彩条的宽为2cm，竖彩条的宽为3cm． 【题型三 边框设计】 【例3】第七届世界军人运动会将于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，小郑幸运获得了一张军运会吉祥物“兵兵”的照片．如图，该照片(中间的矩形)长29cm、宽为20cm，她想为此照片配一个四条边宽度相等的镜框(阴影部分)，且镜框所占面积为照片面积的，为求镜框的宽度，他设镜框的宽度为xcm，依题意列方程得________． 答案：设镜框的宽度为xcm，依题意列方程，(29＋2x)(20＋2x)＝×29×20， 化简得，4x2＋98x－145＝0． 【针对练习1】 1．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边村等宽，左、右边衬等宽，则上、下边衬的宽为( )cm A．1 B．1．5 C．2 D．2．5 答案：B 2．要为一幅长30cm、宽20cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的，则镜框边的宽度为( ) A．1cm B．2cm C．2cm D．2．5cm 答案：D 3．如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑相同宽度的甬道(图中阴影部分)，余下部分种上草坪，要使草坪面积为540m2，求甬道宽． 答案：设甬道宽为xm，依题意得，(32－x)(20－x)＝540，解得x1＝2，x2＝50，∵x＜20，∴x＝2 答：甬道宽为2m． 4．如图，一幅长20cm、宽12cm的图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度． 答案：设横彩条的宽度为3xcm，竖彩条的宽度为2xcm． (20－4x)(12－3x)＝20×12×(1－)解得x1＝1，x2＝8． ∵3x＜12，∴x＜4，∴x＝1． 答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm． 5．如图，利用一面墙(墙的长度为20m)，用34m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设AB的长为xm． (1)若两个鸡场总面积为96m2，求x； (2)若两个鸡场总面积和为Sm2，求S关于x的关系式； (3)两个鸡场面积和S有最大值吗？若有，最大值是多少？ 答案： (1)x＝8，提示：x(36－3x)＝96，x＝4或x＝8，当x＝4，AD＝24＞0，舍去； (2)S＝ AD×AB＝(36－3x)x＝－3x2＋36x(≤x≤)； (3)S＝－3x2＋36x＝－3(x－6)2＋108，当x＝6，即AB＝6时，S取得最大值108． 【板块二】循环向题、增长率问题、传染等问题 1．n支球队参加单循环比赛、一共赛n(n－1)场；n支球队参加双循环比赛，一共赛n(n－1)场； 2．基数A经过两轮增长(下降)，平均增长(下降)率为x，两轮后结果为A(1士x)2； 3．一人感冒，经过两轮传染，平均每人传染x人，两轮后感冒人数为(1＋x)2 【题型一 循环问题】 【例1】要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式(毎两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 【解析】设应邀请x个球队参加比赛，依题意得， x(x－1)＝1