专题19 不等式选讲-三年（2019-2021）高考数学（理）真题分项汇编

专题19 不等式选讲 1．【2021年全国高考甲卷数学（理）试题】已知函数． （1）画出和的图像； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）图像见解析；（2） 【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像； （2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求. 【详解】（1）可得，画出图像如下： ，画出函数图像如下： （2）， 如图，在同一个坐标系里画出图像， 是平移了个单位得到， 则要使，需将向左平移，即， 当过时，，解得或（舍去）， 则数形结合可得需至少将向左平移个单位，. 【点睛】 关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解. 2．【2021年全国高考乙卷数学（理）试题】已知函数． （1）当时，求不等式的解集; （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）.（2）. 【分析】 （1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集. （2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围. 【详解】 （1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和， 则表示数轴上的点到和的距离之和不小于， 当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或， 所以的解集为. （2）依题意，即恒成立， ， 当且仅当时取等号，, 故， 所以或， 解得. 所以的取值范围是. 【点睛】 解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件. 3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数． （1）画出的图像； （2）求不等式的解集． 【解析】（1）由题设知 的图像如图所示． （2）函数的图像向左平移1个单位长度后得到函数的图像． 的图像与的图像的交点坐标为． 由图像可知当且仅当时，的图像在的图像上方， 故不等式的解集为． 4．【2020年高考全国II卷理数】[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f(x)= |x-a2|+|x-2a+1|． （1）当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集； （2）若f(x)≥4，求a的取值范围． 【解析】（1）当时， 因此，不等式的解集为． （2）因为，故当，即时，．所以当a≥3或a≤-1时，． 当-1<a<3时，， 所以a的取值范围是． 5．【2020年高考全国III卷理数】[选修4—5：不等式选讲]（10分） 设a，b，c∈R，，． （1）证明：； （2）用表示a，b，c的最大值，证明：≥． 【解析】（1）由题设可知，a，b均不为零，所以 . （2）不妨设max{a，b，c}=a，因为，所以a>0，b<0，c<0.由，可得，故，所以. 6．【2020年高考江苏】[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设，解不等式． 【解析】当x>0时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，解得． 综上，原不等式的解集为． 7．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）因为，又，故有 ． 所以． （2）因为为正数且，故有 =24． 所以． 【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知 （1）当时，求不等式的解集； （2）若时，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）当a=1时，． 当时，；当时，． 所以，不等式的解集为． （2）因为，所以． 当，时，． 所以，的取值范围是． 【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设，且． （1）求的最小值； （2）若成立，证明：或． 【答案】（1）；（2）见详解． 【解析】（1）由于 ， 故由已知得， 当且仅当x=，y=–，时等号成立． 所以的最小值为． （2）由于 ， 故由已知， 当且仅当，，时等号成立． 因此的最小值为． 由题设知，解得或． 【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 10．【2019年高考江苏卷数学】设，解不等式． 【答案】． 【解析】当x<0时，原不等式可化为，解得x<； 当0≤x≤时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解； 当x>时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1． 综上，原不等式的解集为． 【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解