专题18 坐标系与参数方程-三年（2019-2021）高考数学（理）真题分项汇编

专题18 坐标系与参数方程 1．【2021·全国高考真题（理）】在直角坐标系中，的圆心为，半径为1． （1）写出的一个参数方程; （2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程． 【答案】（1），（为参数）；（2）或. 【分析】 （1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程； （2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可. 【详解】 （1）由题意，的普通方程为， 所以的参数方程为，（为参数） （2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即， 由圆心到直线的距离等于1可得， 解得，所以切线方程为或， 将，代入化简得 或 【点晴】 本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题. 2．【2021年全国高考甲卷数学（理）试题】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为． （1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点． 【答案】（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点. 【分析】 （1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得； （2）设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得. 【详解】 （1）由曲线C的极坐标方程可得， 将代入可得，即， 即曲线C的直角坐标方程为； （2）设，设 ， ， 则，即， 故P的轨迹的参数方程为（为参数） 曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2， 则圆心距为，，两圆内含， 故曲线C与没有公共点. 【点睛】 关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出的参数坐标，利用向量关系求解. 3．【2019年高考北京卷理数】已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，可将直线化为普通方程：，即，即，所以点（1，0）到直线的距离，故选D． 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查． 4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）当时，是什么曲线？ （2）当时，求与的公共点的直角坐标． 【解析】（1）当k=1时，消去参数t得，故曲线是圆心为坐标原点，半径为1的圆． （2）当k=4时，消去参数t得的直角坐标方程为． 的直角坐标方程为． 由解得． 故与的公共点的直角坐标为． 5．【2020年高考全国II卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 已知曲线C1，C2的参数方程分别为 C1：（θ为参数），C2：（t为参数）． （1）将C1，C2的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程． 【解析】（1）的普通方程为． 由的参数方程得，，所以． 故的普通方程为． （2）由得所以的直角坐标为． 设所求圆的圆心的直角坐标为，由题意得， 解得． 因此，所求圆的极坐标方程为． 6．【2020年高考全国III卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点． （1）求； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程． 【解析】（1）因为t≠1，由得，所以C与y轴的交点为（0，12）； 由得t=2，所以C与x轴的交点为． 故． （2）由（1）可知，直线AB的直角坐标方程为，将代入， 得直线AB的极坐标方程． 7．【2020年高考江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）． （1）求，的值； （2）求出直线与圆的公共点的极坐标． 【解析】（1）由，得；，又（0，0）（即（0，））也在圆C上， 因此或0． （2）由得，所以． 因为，，所以，． 所以公共点的极坐标为． 8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 【答案】（1）；的直角坐标方程为；（2）． 【解析】（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为． 的直角坐标方程为． （2）由（1）可设C