专题17 计数原理-三年（2019-2021）高考数学（理）真题分项汇编

专题17 计数原理 1．【2021·全国高考真题（理）】将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【分析】 先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】 根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】 本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】的展开式中x3y3的系数为 A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【解析】展开式的通项公式为（且） 所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为： 和 在中，令，可得：，该项中的系数为， 在中，令，可得：，该项中的系数为 所以的系数为 故选：C. 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题. 3．【2020年新高考全国Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有 A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 【答案】C 【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有； 然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有； 最后剩下的名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有种. 故选：C． 【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题. 4．【2020年高考北京】在的展开式中，的系数为 A． B．5 C． D．10 【答案】C 【解析】展开式的通项公式为：， 令可得：，则的系数为：. 故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为 A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【解析】由题意得x3的系数为，故选A． 【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数． 6．【2021·天津高考真题】在的展开式中，的系数是__________． 【答案】160 【分析】 求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出. 【详解】 的展开式的通项为， 令，解得， 所以的系数是. 故答案为：160. 7．【2021·北京高考真题】展开式中常数项为__________． 【答案】 【详解】 试题分析：的展开式的通项 令得常数项为. 考点：二项式定理. 8．【2021·浙江高考真题】已知多项式，则___________，___________. 【答案】; . 【分析】 根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论. 【详解】 ， ， 所以， ， 所以. 故答案为：. 9．【2020年高考全国II卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种． 【答案】 【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学， 先取2名同学看作一组，选法有：. 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：， 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 10．【2020年高考全国III卷理数】的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 【答案】 【解析】 其二项式展开通项： 当，解得 的展开式中常数项是：. 故答案为：. 【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 11．【2020年高考天津】在的展开式中，的系数是_________． 【答案】10 【解析】因为的展开式的通项公式为，令，解得． 所以的系数为． 故答