专题05 立体几何（选择题、填空题）-三年（2019-2021）高考数学（理）真题分项汇编

专题05 立体几何（选择题、填空题） 1．【2021·浙江高考真题】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积. 【解析】几何体为如图所示的四棱柱，其高为1，底面为等腰梯形， 该等腰梯形的上底为，下底为，腰长为1，故梯形的高为， 故， 故选：A. 2．【2021·北京高考真题】某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积. 【解析】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥， 其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形， 由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1， 故其表面积为， 故选：A. 3．【2021·浙江高考真题】如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线相交，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 【答案】A 【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论. 【解析】 连，在正方体中， M是的中点，所以为中点， 又N是的中点，所以， 平面平面， 所以平面. 因为不垂直，所以不垂直 则不垂直平面，所以选项B,D不正确； 在正方体中，， 平面，所以， ，所以平面， 平面，所以， 且直线是异面直线， 所以选项B错误，选项A正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系. 4．【2021·全国高考真题（理）】已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积. 【解析】，为等腰直角三角形，， 则外接圆的半径为，又球的半径为1， 设到平面的距离为， 则， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解. 5．【2021·全国高考真题（理）】在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 【解析】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 6．【2021·全国高考真题】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求. 【解析】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得. 故选：B. 7．【2021·北京高考真题】定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【答案】B 【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解. 【解析】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥， 所以积水厚度，属于中雨. 故选：B. 8．【2021·全国高考真题】在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【解析】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所