专题03 导数及其应用（选择题、填空题）-三年（2019-2021）高考数学（理）真题分项汇编

专题03 导数及其应用（选择题、填空题） 1．【2021·全国高考真题】若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知. 故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 2．【2021·浙江高考真题】已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解. 【解析】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A； 对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C，，则， 当时，，与图象不符，排除C. 故选：D. 3．【2021·全国高考真题（理）】设，，．则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系. 【解析】, 所以; 下面比较与的大小关系. 记,则,， 由于 所以当0<x<2时，,即,, 所以在上单调递增， 所以,即,即; 令,则,, 由于，在x>0时,, 所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c; 综上，, 故选：B. 【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的. 4．【2021·全国高考真题（理）】设，若为函数的极大值点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对进行分类讨论，画出图象，由此确定正确选项. 【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 依题意，为函数的极大值点， 当时，由，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 5．【2021·全国高考真题（理）】曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【解析】由题，当时，，故点在曲线上． 求导得：，所以． 故切线方程为． 故答案为：． 6．【2021·全国高考真题】函数的最小值为______. 【答案】1 【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【解析】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数的图像在点处的切线方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，， 因此，所求切线的方程为，即. 故选：B． 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题. 8．【2020年高考全国III卷理数】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为 A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 【答案】D 【解析】设直线在曲线上的切点为，则， 函数的导数为，则直线的斜率， 设直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则， 两边平方并整理得，解得，（舍）， 则直线的方程为，即. 故选：D． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则 A． B．a=e，b=1 C． D．，