第11章 专项2用几何法求空间角 复习课讲义-2021-2022学年高二（暑期）数学人教B版必修4（原卷版+解析版）

高中数学一轮复习讲义 第十一章 《立体几何初步》复习课讲义 专项2 用几何法求空间角 知识梳理.空间角 1.异面直线的定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线 （1）异面直线所成的角的范围：． （2）求法：平移→ 2．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.0°≤φ≤90° 3．求二面角的大小 (1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)． 题型一. 点到面的距离 1．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则P到平面BQD的距离为　 　． 2．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，若则点A到平面A1BC的距离为（　　） A． B． C． D． 3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，M为PC的中点． （Ⅰ）在棱PB上是否存在一点Q，使用A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由． （Ⅱ）求点D到平面PAM的距离． 4．如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为AB，PB的中点，EB＝EA，且PA⊥AC，PC⊥BC． （Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC； （Ⅱ）若PA＝2BC且AB＝EA，三棱锥P﹣ABC．体积为1，求点B到平面DCE的距离． 题型二. 异面直线所成的角 1．已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M、N分别是AB、PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝4，则异面直线PA与MN所成角的大小是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于　 　． 3．如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝60°，M，N分别是A1C1，CC1的中点，BC＝CA＝CC1，则BN与AM所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，其中∠BAD＝60°，平面PAD⊥平面ABCD，其中△PAD为等边三角形，AB＝4，M为棱PD的中点． （Ⅰ）求证：PB⊥AD； （Ⅱ）求异面直线PB与AM所成角的余弦值． 题型三. 线面角 1．如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB＝1，AA′＝2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为　 　． 2．如图所示，在直三棱柱ABO﹣A′B′O′中，OO′＝4，OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的正切值． 3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2． （Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC； （Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值． 4．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝4，． （Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC； （Ⅱ）若，求BC与平面PBD所成角的正弦值． 题型四.二面角 1．已知三棱锥D﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC，BC＝2，则二面角D﹣BC﹣A的大小（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．已知正三棱锥S﹣ABC的所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的余弦为（　　） A． B． C． D． 3．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点． （1）求证：B1C∥平面A1BD； （2）求二面角A1﹣BD﹣A的大小； （3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值． 4．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AB＝PD＝a，PA＝PCa． （Ⅰ）求证：PD⊥平面ABCD； （Ⅱ）求异面直线PB与AC所成的角； （Ⅲ）求二面角A﹣PB﹣D的大小． 题型五.存在性问题、折叠问题 1．如图，在