第11章 专项1平行与垂直证明 复习课讲义-2021-2022学年高二（暑期）数学人教B版必修4（原卷版+解析版）

高中数学新高二暑期班 第十一章 《立体几何初步》复习课讲义 专项1 平行与垂直证明 知识梳理.平行与垂直证明 1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) ∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b 3. 直线与平面垂直的判定定理及性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 4．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 题型一. 平行问题 考点1.线面平行 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面PCD，M，N分别是AB，PC的中点．求证： （1）直线MN∥平面PAD； 2．如图所示四棱锥P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD中，CD∥AB，且PD＝AB＝2CD＝4，PB＝AD＝5，E是PC上一点，满足PE＝2EC． （1）证明：PA∥平面BDE； 考点2.面面平行 3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E、D分别是B1C1与BC的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1． 4．如图所示，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点． （1）求证：E、B、F、D1四点共面 （2）求证：平面A1GH∥平面BED1F． 考点3.线线平行 5．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F． （Ⅰ）证明：EF∥B1C； 6．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l． （1）求证：l∥BC． （2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论． 题型二. 垂直问题 考点1.线面垂直 1．如图，已知三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，BC⊥AC，BD＝3，AD＝1，AC＝BC，M为线段AB的中点． （Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD； 2．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC． （Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD； 考点2.面面垂直 3．如图：AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC． 4．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC； 考点3.线线垂直 5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝45°，AD＝1，AB，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面PBD． （Ⅰ）求证：PA⊥BD； 6．如图，四棱锥E﹣ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD． （Ⅰ）求证：AB⊥ED； （Ⅱ）线段EA上是否存在点F，使DF∥平面BCE？若存在，求出；若不存在，说明理由． 题型三.存在性问题 1．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点． （Ⅰ）求证：DE∥平面PBC； （Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB； （Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F