1.4 空间向量的应用-2021-2022学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

【选择性必修第一册】 1.4空间向量的应用 （解析版） 提示：本卷题型为8（单选）+4（多选 ）+4（填空）+6（解答） 一、单选题 1．（2020·哈尔滨市第三十二中学校高二期末（理））若 在直线l上，则直线 的一个方向向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题意可得首先求出直线上的一个向量 ，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案． 【详解】 由题意可得：直线 的一个方向向量 ， 又∵ ， ∴ 是直线 的一个方向向量． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查直线的方向向量，以及平面向量共线（平行）的坐标表示，是基础题． 2．（2020·全国课时练习）圆锥的轴截面 是边长为2的等边三角形， 为底面的中心， 为 的中点，动点 在圆锥底面内（包括圆周）若 则点 形成的轨迹的长度为( 　 ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P的轨迹方程，得到P的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长． 【详解】 建立空间直角坐标系．设A（0，﹣1，0），B（0，1，0），S（0，0， ），M（0，0， ），P（x，y，0）． 于是有 （0，1， ）， （x，y， ）． 由于AM⊥MP，所以（0，1， ）•（x，y， ）＝0， 即y ，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2 ． 故选C． 【点睛】 本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题 3．（2020·全国高二课时练习）如图所示， ， 是直角梯形 两腰的中点， 于点 ，现将△ 沿 折起，使二面角 为 ，此时点 在平面 内的射影恰为点 ，则 ， 的连线与 所成的角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 首先根据题意，建立空间直角坐标系，设出边长，求得点的坐标，进而求得向量的坐标，利用向量数量积等于零，得到两向量的夹角为 ，进而得到异面直线所成角的大小. 【详解】 建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意知 为等腰直角三角形. 设 ，则 ， ， . 设 ，则 ， ， ， ， ， 所以 ， ， 所以 .故 ， 从而 与 所成的角为 . 故选：B. 【点睛】 该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用空间向量求异面直线所成角，属于简单题目. 4．（2021·全国高三专题练习）如图，已知正方体 的上底面中心为 ，点 为 上的动点， 为 的三等分点（靠近点 ）， 为 的中点，分别记二面角 ， ， 的平面角为 ，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 分析：建立空间直角坐标系，对动点O选取一个特殊位置，然后求出三个侧面的法向量，根据向量夹角的余弦值求得三个二面角的余弦值，比较后可得二面角的大小． 详解：建立如图所示的空间直角坐标系 ．考虑点 与点A重合时的情况． 设正方体的棱长为1，则 ． 设平面 的一个法向量为 ， 由 ，得 ， 令 ，得 ． 同理可得平面 和平面 的法向量分别为 ． 结合图形可得： ， ， ∴ ， 又 ， ∴ ． 故选D． 点睛：本题考查用平面的法向量求二面角的余弦值，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，通过平面法向量夹角的余弦值来求出二面角的余弦值，体现了向量法在解立体几何问题中的作用，当然解题中还要注意向量的夹角与二面角的平面角不一定是相等的，这点要通过观察图形后才能得到结论． 5．（2020·全国高二课时练习）已知在正方体 中， ， 为空间任意两点，如果 ，那么点 必（ ） A．在平面 内 B．在平面 内 C．在平面 内 D．在平面 内 【答案】C 【分析】 根据空间向量的加减运算得出 EMBED Equation.DSMT4 ，最后由向量共面定理得出答案. 【详解】 因为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 ， ， ， 四点共面 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了空间向量的加减运算以及向量共面定理，属于中档题. 6．（2021·全国高二课时练习）已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ， ， .对于结论：① ；② ；③ 是平面 的法向量；④ .其中正确的是（ ） A．②④ B．②③ C．①③ D．①② 【答案】B 【分析】 求出 判断①不正确；根据 判断②正确；由 ， 判断③正确；假设存在 使得 ，由 无解，判断④不正确. 【详解】 由 ， ， ， ，2， ， ，2， ，知： 在①中， ，故①不正确； 在②中， ， EMBED Equation.DS