1.2 空间向量基本定理-2021-2022学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

【选择性必修第一册】 1.2空间向量基本定理 （解析版） 提示：本卷题型为8（单选）+4（多选 ）+4（填空）+6（解答） 一、单选题 1．（2020·全国高二课时练习）在空间四点 ， ， ， 中，若 是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ）. A． ， ， ， 四点不共线 B． ， ， ， 四点共面，但不共线 C． ， ， ， 四点不共面 D． ， ， ， 点中任意三点不共线 【答案】B 【分析】 利用空间向量基底的定义依次判断即可 【详解】 选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量 ， ， 共面，构不成基底； 选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则 ， ， 共面，构不成基底； 选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则 ， ， 构不成基底； 选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量 ， ， 构不成基底. 故选：B 【点睛】 此题考查空间向量的基底的定义，属于基础题 2．（2020·全国高二课时练习（理））已知向量 是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ） A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 【答案】C 【分析】 空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明 、 、 三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明 中的向量不共面 【详解】 解： ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 共面，不能构成基底，排除 ； ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 共面，不能构成基底，排除 ； EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 共面，不能构成基底，排除 ； 若 、 ， 共面，则 ，则 、 、 为共面向量，此与 为空间的一组基底矛盾，故 、 ， 可构成空间向量的一组基底． 故选： ． 【点睛】 本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属于中档题. 3．（2019·宁夏兴庆·银川二中高二期末（理））已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】 根据“ 时，若 则点 与点 共面”，分别判断各选项是否为充分条件. 【详解】 当 时，可知点 与点 共面， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 不妨令 ， ， ，且此时 ， 因为 ， ， ， ， 由上可知：BD满足要求. 故选：BD. 【点睛】 本题考查利用空间向量证明空间中的四点共面，难度一般.常见的证明空间中四点 共面的方法有：(1)证明 ；(2)对于空间中任意一点 ，证明 ；(3) 对于空间中任意一点 ，证明 . 4．（2020·全国高二课时练习）如图，在长方体 中，P是线段 上一点，且 ，若 ，则 A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】 利用向量加法以及减法的几何意义即可求解. 【详解】 ，所以 ， ， ， 所以 . 故选：B 【点睛】 本题考查了空间向量的加法以及减法的几何意义，属于基础题. 5．（2020·全国专题练习）对于空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，且有 ，则 ， ， 是 , , , 四点共面的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】 利用空间中共面定理：空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，且 ,得 , , , 四点共面等价于 ，然后分充分性和必要性进行讨论即可. 【详解】 解：空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，且 则 , , , 四点共面等价于 若 ， ， ，则 ，所以 , , , 四点共面 若 , , , 四点共面，则 ，不能得到 ， ， 所以 ， ， 是 , , , 四点共面的充分不必要条件 故选B. 【点睛】 本题考查了空间中四点共面定理，充分必要性的判断，属于基础题. 6．（2020·全国高二课时练习）若向量 、 、 的起点与终点 、 、 、 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ 是空间任一点），则能使向量 、 、 成为空间一组基底的关系是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 因为向量 成为空间一组基底时，所以，这三个向量不共面，看各个选项中的条件哪个能使向量 不共面． 【详解】 选项A中，因为 ，所以 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底； 选项B中， ，但可能 ，即 、 、 、 可能共面，所以向量 、 、 不一定能成为空间的一组基底； 选项D中，∵ ，∴ 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底， 故选C． 【点睛】 本题考查空间向量基本定理及其意义，以及三个向量共面