专题12.7 全等三角形中的经典模型-重难点题型-2021-2022学年八年级数学上册举一反三系列（人教版）【学科网名师堂】

专题12.7 全等三角形中的经典模型 【人教版】 【题型1 平移模型】 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线. 【常见模型】 【例1】（2020秋•襄城区期末）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A＝∠D，AB∥DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB＝DE；乙说：添加AC∥DF；丙说：添加BE＝CF． （1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是　 　； （2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明． 【解题思路】（1）根据平行线的性质，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上条件∠A＝∠D，只需要添加一个能得出边相等的条件即可证明两个三角形全等，添加AC∥DF不能证明△ABC≌△DEF； （2）添加AB＝DE，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可． 【解答过程】解：（1）说法正确的是：甲、丙， 故答案为：甲、丙； （2）证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEC， 在△ABC和△DEF中 ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 【变式1-1】（2020秋•苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）求证：点O为BF的中点． 【解题思路】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DFE； （2）由“AAS”可证△ACO≌△DEO，可得EO＝CO，可得结论． 【解答过程】证明：（1）∵AB∥DF， ∴∠B＝∠F， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（SAS）； （2）∵△ABC≌△DFE， ∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF， 在△ACO和△DEO中， ， ∴△ACO≌△DEO（AAS）， ∴EO＝CO， ∴点O为BF的中点． 【变式1-2】（2020秋•富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． 【解题思路】可以根据已知利用SAS判定△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图（2）、（3）时，其余条件不变，结论仍然成立．可以利用全等三角形的常用的判定方法进行验证． 【解答过程】解：∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， 即AC＝BD． ∵DE∥AF， ∴∠A＝∠D． 在△AFC和△DEB中，， ∴△AFC≌△DEB（SAS）． 在（2），（3）中结论依然成立． 如在（3）中，∵AB＝CD， ∴AB﹣BC＝CD﹣BC， 即AC＝BD， ∵AF∥DE， ∴∠A＝∠D． 在△ACF和△DEB中，， ∴△ACF≌△DEB（SAS）． 【变式1-3】（2021春•雁塔区校级期中）如图①点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE＝DF． （1）证明：EF平分线段BC； （2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由． 【解题思路】（1）由AB＝CD，利用等式的性质得到AC＝BD，再由AE＝DF，利用HL得到直角三角形ACE与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC＝BF，再利用AAS得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG＝CG，即可得证； （2）（1）中的结论成立，理由为：由AC＝DB，利用等式的性质得到AC＝BD，再由AE＝DF，利用HL得到直角三角形ACE与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC＝BF，再利用AAS得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG＝CG，即可得证． 【解答过程】（1）证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠ACE＝∠DBF＝90°， ∵AB＝CD， ∴AB+BC＝BC+CD，即AC＝DB， 在Rt△ACE和Rt△DBF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL）， ∴CE＝FB， 在△CEG和△BFG中， ， ∴△CEG≌△BFG（AAS）， ∴CG＝BG，即EF平分线段BC； （2）（1）中结论成立，理由为： 证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠ACE＝∠DBF＝90°， ∵AB＝CD， ∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝DB， 在Rt△ACE和Rt△DBF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL）， ∴CE＝FB， 在△CEG和△BFG中， ， ∴△CEG≌△BFG（AAS）， ∴CG＝BG，即EF平分线段BC． 【题型2 轴对称模型