22.3 实际问题与二次函数（基础+提升）-2021-2022学年九年级数学上册同步考点讲练（人教版）

22.3 实际问题与二次函数 【提升训练】 一、单选题 1．如果一个矩形的周长与面积的差是定值，我们称这个矩形为“定差值矩形”.如图，在矩形中， ，，，那么这个“定差值矩形”的对角线 的长的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据矩形的性质，由勾股定理可得，由二次函数的性质可求解． 【详解】 解：∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，， ∴有最小值为（取正值）， 故选：C． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，二次函数的性质，掌握相关性质是本题的关键． 2．如图，点是菱形边上的动点，它从点出发沿路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为（ ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】 设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在BC上，在CD上和在DA上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可． 【详解】 解：设菱形的高为h，分三种情况： ①当P在BC边上时， y＝BP•h， ∵BP随x的增大而增大，h不变， ∴y随x的增大而增大，且为一次函数关系， 故选项A和D不正确； ②当P在边DC上时， y＝AB•h， AB和h都不变， ∴在这个过程中，y不变， 故选项B不正确； ③当P在边AD上时， y＝AP•h， ∵PA随x的增大而减小，h不变， ∴y随x的增大而减小，且为一次函数， 故选：C； 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，分三段求出△PAB的面积的表达式是解题的关键． 3．如图，四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段的延长线上，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．设，四边形的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（ ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】 分两种情况求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断． 【详解】 解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形， ∴∠DAB=90°，AD=AB， 在△ADE和△ABF中， ∴△ADE≌△ABF（SAS）， ∴∠ADE=∠ABF，DE=BF， ∵∠DEG=90°， ∴∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEG， ∴∠BEG=∠ADE， ∴∠BEG=∠ABF， ∴EGBF， ∵DE=BF，DE=GE， ∴EG=BF， ∴四边形BFEG是平行四边形， ∴四边形EFBG的面积=2△BEF的面积=2BE•AF， 设AE=x，四边形EFBG的面积为y， 当0≤x≤1时，y=（1-x）•x=-x2+x； 当x＞1时，y=（x-1）•x=x2-x； 综上可知，当0≤x≤1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x＞1时，函数图象是开口向上的抛物线， 符合上述特征的只有B， 故选：B． 【点睛】 本题综合考查了正方形的性质和二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在直线上运动，设的面积为，则下列图象中，能反映与的函数关系的是（ ）． A．B．C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意得出临界点P点横坐标为1时，△APO的面积为0，设直线与y轴交于点B，则B(0，2)，连接AB，利用割补法，得到S与m的函数，进而即可得到答案． 【详解】 解：∵点P（m，n）在直线y＝−x＋2上运动， ∴当m＝1时，n＝1，即P点在直线AO上，此时S＝0， 设直线与y轴交于点B，则B(0，2)，连接AB， ∵点A的坐标为，B(0，2)， ∴是等腰直角三角形，且， 当m≤1时，S△APO＝×2×2-×2×m×2＝2−2m， ∴S与m是一次函数关系， 同理：当m＞1时，S△APO＝2m−2，故S与m是一次函数关系， 只有选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了动点问题的函数图象，根据题意，得到S与m的函数解析式，是解题的关键． 5．如图．正方形中，，对角线，相交于点，点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，运动，到点，时停止运动，设运动时间为，的面积为，则与的函数关系可用图象表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 因BE=CF，根据正方形的性质，可证明△BOE≌△COF，从而这两个三角形的面积相等，故四边形OECF的面积等于△BOC的面积，故有△OEF的面积=四边形OECF的面积−△ECF的面积，而△ECF的面积则可以用t的代数式表示出来，从而可得△OEF的面积关于t的函数关系式，最后可判定结果． 【详解】 由题意，得：BE=CF=tcm，则CE=BC-BE=(8-t)cm ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠OBE=∠OCF=45゜，OB=OC ∴△OBE≌△OCF ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 根