22.1 二次函数的图象和性质（基础+提升）-2021-2022学年九年级数学上册同步考点讲练（人教版）

22.1 二次函数的图象和性质 【提升训练】 一、单选题 1．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】 先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断结论①；将点代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤． 【详解】 解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴， ， 抛物线的对称轴为， ， ，则结论①正确； 将点代入二次函数的解析式得：，则结论③错误； 将代入得：，则结论②正确； 抛物线的对称轴为， 和时的函数值相等，即都为， 又当时，随的增大而减小，且， ，则结论④错误； 由函数图象可知，当时，取得最大值，最大值为， ， ， 即，结论⑤正确； 综上，正确的结论有①②⑤，共3个， 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 2．如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点、点．下列结论：①；②；③；④．正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】 把A、B两个点的坐标分别代入中，求得b=-2a及c=-3a，由图象知a<0，从而可分别对前3个结论作出判断；根据抛物线在顶点处取得最大值，从而可对最后一个结论作出判断． 【详解】 ∵抛物线分别过点A、B ∴ 解得： 由图象知：a<0 ∴b>0，c>0 ∴abc<0 故①错误 b-2a=-2a-2a=-4a>0， 故②③均正确 ∵，且a<0 ∴当x=1时，函数取得最大值，且最大值为a+b+c=-4a 对于任意x=n，当n≠1时，则必有 即 故④正确 所以正确的结论有②③④ 故选：B． 【点睛】 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向、最值、二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据抛物线过点A、B得到b、c关于a的表达式，本题涉及到数形结合思想． 3．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线．则下列选项中①；②；③；④：⑤当（为实数）时，，其中正确的有（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】 由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故①错误；根据二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2-4ac＞0，求得4ac-b2＜0，故②错误；根据对称轴方程得到b=2a，当x=-1时，y=a-b+c＜0，于是得到c-a＜0，故③错误；当x=1时，y=a+b+c>0，故④正确；当x=-n2-2（n为实数）时，代入解析式得到y=ax2+bx+c=a（-n2-2）2+b（-n2-2）+c=an2（n2+2）+c，于是得到y=an2（n2+2）+c≥c，故⑤正确． 【详解】 解：①由图象与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0， 又对称轴方程为x=-1，所以-=-1，所以b=2a， ∵ ∴ ∴abc＞0，故①错误； ②∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点， ∴b2-4ac＞0， ∴4ac-b2＜0，故②错误； ③∵-=-1， ∴b=2a， ∵当x=-1时，y=a-b+c＜0， ∴a-2a+c＜0， ∴c-a＜0，故③错误； ④当x=1时，y=a+b+c>0，故④正确； ⑤当x=-n2-2（n为实数）时，y=ax2+bx+c=a（-n2-2）2+b（-n2-2）+c=an2（n2+2）+c， ∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0， ∴y=an2（n2+2）+c≥c，故⑤正确， ∴正确的结论有：④⑤，共2个 故选：A． 【点睛】 本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键． 4．已知二次函数（、是常数，）的图象经过点和，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出二次函数的解析式，确定函数取得最大值时，的值；再解出函数值为时，的值，即可得出答案． 【详解】 解二次函数（、是常数，）的图象经过点和， ， 解得：， ， 当时，函数的最小值为，最大值为1， 当时，； 时，， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数，解题的关键是：理解题意，求出函数的解析式，利用函数的对称性、开口方向，研究最值． 5．将二次函数位于x轴下方的图像沿x轴向上翻折，与原二次函数位于x轴上方的部分组成一个新图像，这个新图