第1讲 空间向量及运算-2021-2022学年高二数学多选题专项提升（人教A版2019选择性必修第一册）

第1讲空间向量及运算 一．多选题（共6小题） 1．已知向量 ，2，， ，0， ， ，5， ，下列等式中正确的是 　　 A． B． C． D． 2．定义空间两个向量的一种运算 ， ，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有 　　 A． B． C． D．若 ， ， ， ，则 3．已知 为正方体，下列说法中正确的是 　　 A． B． C．向量 与向量 的夹角是 D．正方体 的体积为 4．设 ， ， 是空间一个基底 　　 A．若 ， ，则 B．则 ， ， 两两共面，但 ， ， 不可能共面 C．对空间任一向量 ，总存在有序实数组 ， ， ，使 D．则 ， ， 一定能构成空间的一个基底 5．如图，在长方体 中， ， ， ，以直线 ， ， 分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，则 　　 A．点 的坐标为 ，5， B．点 关于点 对称的点为 ，8， C．点 关于直线 对称的点为 ，5， D．点 关于平面 对称的点为 ，5， 6．若 ， ， 与 的夹角为 ，则 的值为 　　 A．17 B． C． D．1 $ 第1讲空间向量及运算 参考答案与试题解析 一．多选题（共6小题） 1．已知向量，2，，，0，，，5，，下列等式中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】．左边为向量，右边为实数，显然不相等． ．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出． ．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出． ．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出． 【解答】解：．左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确； ．左边，2，，5，，右边，2，，5，，左边右边，因此正确． ．，7，，左边，右边，左边右边，因此正确． ．由可得：左边；，，，，左边右边，因此正确． 综上可得：正确． 故选：． 【点评】本题考查了向量运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．定义空间两个向量的一种运算，，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有　　 A． B． C． D．若，，，，则 【分析】和需要根据定义列出左边和右边的式子，再验证两边是否恒成立；由定义验证若，且，结论成立，从而得到原结论不成立；根据数量积求出，，再由平方关系求出，的值，代入定义进行化简验证即可． 【解答】解：对于，，，，， 故恒成立； 对于，，，， 故不会恒成立； 对于，若，且，，， ，，，， 显然不会恒成立； 对于，，，，， 即有 ． 则恒成立． 故选：． 【点评】本题考查了向量的数量积和向量的模的公式，利用给出的定义进行证明结论，计算量很大． 3．已知为正方体，下列说法中正确的是　　 A． B． C．向量与向量的夹角是 D．正方体的体积为 【分析】本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积．用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算． 【解答】解：由向量的加法得到：，，，所以正确； ，，，故正确； 是等边三角形，，又，异面直线与所成的夹角为，但是向量与向量的夹角是，故不正确； ，，故，因此不正确． 故选：． 【点评】本题把正方体中的线线位置关系及夹角与向量的有关知识结合起来进行考查．熟练掌握正方体中的线线位置关系及夹角与向量的有关知识方法是做好本题的关键． 4．设，，是空间一个基底　　 A．若，，则 B．则，，两两共面，但，，不可能共面 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，，，使 D．则，，一定能构成空间的一个基底 【分析】利用，，是空间一个基底的性质直接求解． 【解答】解：由，，是空间一个基底，知： 在中，若，，则与相交或平行，故错误； 在中，，，两两共面，但，，不可能共面，故正确； 在中，对空间任一向量，总存在有序实数组，，，使，故正确； 在中，，，一定能构成空间的一个基底，故正确． 故选：． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则　　 A．点的坐标为，5， B．点关于点对称的点为，8， C．点关于直线对称的点为，5， D．点关于平面对称的点为，5， 【分析】利用空间点的对称性即可得出． 【解答】解：由图形及其已知可得：点的坐标为，5，，点，5，关于点对称的点为，5，， 点关于直线对称的点为，5，， 点，5，关于平面对称的点为，5，． 因此正确． 故选：． 【点评】本题考查了空间点的对称性、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6．若，，与的夹角为，则的值为　　 A．17 B． C． D．1 【分析】利用向量夹角公式直接求解． 【解答】解：，，与的夹角为， ， 解