28.4 垂径定理课件 2021——2022学年冀教版九年级数学上册

28.4 垂径定理 第二十八章 圆 情景导入 问题 赵州桥的半径是多少？ 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 获取新知 知识点一：垂径定理 问题1 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．沿着CD所在的直线折叠，你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ · O A B C D E 线段：AE=BE 弧：AD=BD，AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，根据前面的说理，点A与点B重合，AE与BE重合，AD和BD,AC与BC重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B C E D 证明:如图所示,连接OA,OB. 在△OAB中,∵OA=OB,OE⊥AB, ∴AE=BE,∠AOE=∠BOE. ∵∠AOC=180°-∠AOE,∠BOC=180°-∠BOE, ∴∠AOC=∠BOC. 如图所示,在☉O中,CD为直径,AB为弦,且CD⊥AB,垂足为E.求证：AE=BE，AD=BD，AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AD=BD. ⌒ ⌒ ∴AC=BC. ⌒ ⌒ 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 几何语言： ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. · O A B C D E 例题讲解 例1 已知：如图， CD为⊙O的直径，AB为弦，且AB⊥CD，垂足为E. 若ED=2，AB=8，求直径CD的长.  解：如图，连接OA.设⊙O的半径为r. ∴ CD为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴ AE=BE. ∴AB=8，∴ AE=BE=4， 在 Rt△OAE 中，OA2=OE2+AE2， OE=OD－ED，即r2 = (r－2)2+42. 解得r=5，从而2r=10. 所以直径CD的长为10. 获取新知 知识点二：垂径定理的推论 如图所示,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E. 【思考】 (1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗? AD与BD(或AC与BC)相等吗?说明你的理由. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ (2)若AD=BD(或AC=BC),能判断CD与AB