专题1.6反比例函数的几何综合问题（重难点培优）-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【鲁教版】

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【鲁教版】 专题1.6反比例函数的几何综合问题（重难点培优） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷试题共25题，解答25道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、解答题（本大题共25小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．（2021•靖江市模拟）如图，平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2（k≠0）的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出y1＞y2时x的取值范围； （3）过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D，点C是直线BE上一点，若AD＝3CD，求点C的坐标． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）点A（1，2），点B（﹣2，﹣1），则AD＝2﹣（﹣1）＝3，由AD＝3CD得CD＝1，进而求解． 【解析】（1）把A（1，2）代入中得k＝2， ∴反比例函数的表达式为， ∴B（﹣2，﹣1）， 把A（1，2）和B（﹣2，﹣1）代入一次函数y1＝ax+b得， 解得， ∴一次函数的表达式为y1＝x+1； （2）从图象可以看出，y1＞y2时x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1； （3）点A（1，2），点B（﹣2，﹣1）， 则AD＝2﹣（﹣1）＝3， 由AD＝3CD得CD＝1， 故点C（0，﹣1）或（2，﹣1）． 2．（2021•东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，EF垂直平分对角线AC，垂足为D．点E、点F分别在BC、OA上，连接CF、AE，反比例函数的图象恰好经过点D，交线段AE于点G，点D的坐标为（4，2）． （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）求直线AE的解析式； （3）求G的坐标． 【分析】（1）证明四边形AECF平行四边形，而EA＝EC，故四边形AECF为菱形； （2）设菱形AECF的边长为x，则AF＝CF＝x，OF＝8﹣x，OC＝4，在Rt△OCF中，CF2＝OC2+OF2，即x2＝（x﹣8）2+42，求出点E的坐标为（5，4），进而求解； （3）联立①②得：x，进而求解． 【解析】（1）∵EF垂直平分对角线AC， ∴FC＝FA，EA＝EC， ∴∠EAC＝∠ECA，∠FAC＝∠FCA， ∵BC∥OA， ∴∠EAC＝∠FAC＝∠FCA＝∠EAC， ∴CF∥AE， ∴四边形AECF为平行四边形， ∵EA＝EC， ∴四边形AECF为菱形； （2）将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2，解得k＝8， 故反比例函数表达式为y①， ∵四边形AECF为菱形， ∴点D是AC的中点， 则点D是矩形OABC的中点， 故点B的坐标为（8，4）， 故OC＝4，OA＝8， 设菱形AECF的边长为x，则AF＝CF＝x，OF＝8﹣x，OC＝4， 在Rt△OCF中，CF2＝OC2+OF2，即x2＝（x﹣8）2+42， 解得x＝5， 则点E的坐标为（5，4）， 设直线AE的表达式为y＝mx+n，则，解得， 故直线AE的表达式为yx②； （3）联立①②得：x， 解得x＝4（舍去）或4， 故点G的坐标为（4，）． 3．（2021•广州模拟）如图，直线AB：y＝kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（1，0）和点B（0，2），以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD． （1）求直线AB的解析式； （2）求点D的坐标； （3）若双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点，求k的取值范围． 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式； （2）作DF⊥x轴于F，易证△ADF≌△BAO（AAS），利用全等三角形的性质可求出点D的坐标； （3）同（2）可求出点C的坐标，利用极限值法可求出k的最大、最小值，此题得解． 【解析】（1）将A（1，0），B（0，2）代入y＝kx+b，得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+2． （2）作DF⊥x轴于F，则∠AFD＝90°， ∵正方形ABCD， ∴BA＝AD，∠BAD＝90°，∠BAO+∠DAF＝90°， ∵∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝∠DAF． 在△ADF和△BAO中，， ∴△ADF≌△BAO（AAS）， ∴AF＝BO＝2，DF＝AO＝1， ∴点D的坐标为（3，1）． （3）同（2）可得出点C的坐标为（2，3）． 当双曲线过点D时，k＝3×1＝3； 当双曲线过点C时，k＝2×3＝6， ∴当双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点时，k的取值范围为3≤k