第9讲 球（巩固基础+能力提升练习）-【教育机构专用】2021年暑期新高二数学辅导讲义（沪教版2020必修第三册）

第9讲 球 (巩固基础+能力提升练习） 【巩固基础】 一、单选题 1．（2021·山西吕梁市·高二期末（理））刘徽的《九章算术注》记载“斜解立方，有两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”意思是把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，再沿堑堵的一顶点与其相对的面对角线剖开成两块，大的叫阳马（底面为长方形，且有一侧棱与底面垂直的四棱锥），小的叫鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体），若三棱锥为鳖臑，平面ABC，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据鳖臑的定义，作出鳖臑，根据满足的条件，求得长方体的外接球半径即鳖臑的外接球半径，从而求得体积. 【详解】根据鳖臑的定义，可以作出满足条件的鳖臑，其中平面ABP， 则，三棱锥的外接球与以分别为长，宽，高的长方体的外接球相同， 则外接球半径， 则外接球体积为 故选：A 2．（2021·江西上高二中高二月考（文））《九章算术》的“开立圆术”中，“立圆”的意思是“球体”，古称“丸”，而“开立圆术”即求已知体积的球体的直径的方法：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径.”其意思为：“把球体体积先乘16再除以9，然后再把得数开立方，所得即为所求球体直径的近似值.”则当球体体积为时，球半径的近似值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入化简可得结果. 【详解】由题意可得， ， 所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查球的体积、直径的估算，考查了转化思想的应用，属于中档题. 3．（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末（文））据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件可将三棱锥补全图形为正方体，可知其外接球为正方体的外接球，即可求外接球表面积. 【详解】∵底面，，，将三棱锥补全图形为正方体如图所示， ∴三棱锥的外接球即正方体的外接球. 设外接球的半径为，则，解得. 所以外接球的表面积为. 故选：C 【点睛】本题考查几何体外接球表面积的求法，注意补全三棱锥转化为正方体，应用正方体外接球的性质，属于基础题. 二、填空题 4．（2021·四川南充市·高二期末（文））已知球与棱长为的正四面体各面都相切，则该球的体积为___________． 【答案】 【分析】利用等体积法求出内切球的半径，再根据球的体积公式计算可得； 【详解】解：如图正三棱锥中，为在底面的射影，所以面，因为正三棱锥的棱长为，所以，，所以，，设内切球的半径为，则，即，解得，所以 故答案为： 5．（2021·广东高二月考）设球O内切于正三棱柱，则球O的体积与正三棱柱的体积的比值为________． 【答案】 【分析】设球O半径为R，正三棱柱的底面边长为a，求出，然后正三棱柱的高为2R，然后可算出答案. 【详解】设球O半径为R，正三棱柱的底面边长为a，则R＝＝a，即a＝2R， 又正三棱柱的高为2R， 所以球O的体积与正三棱柱的体积的比值为＝＝ 故答案为： 6．（2021·江西南昌市·南昌十中高二期末（文））将一钢球放入底面半径为的圆柱形玻璃容器中，水面升高，则钢球的半径是______. 【答案】3 【分析】设球的半径为cm，由球的体积等于水面升高的体积，即可列方程求钢球半径. 【详解】由题意知：水面升高的体积等于钢球的体积，设钢球的半径为cm，则： ，解得：， 故答案为：3 7．（2021·云南省大姚县第一中学高二期末（文））棱长为的正方体的外接球与内切球的体积比为__________. 【答案】 【分析】确定棱长为的正方体的外接球与内切球的半径，即可求得棱长为的正方体的外接球与内切球的体积之比. 【详解】棱长为的正方体的外接球的直径为正方体的体对角线，即外接球的半径为， 棱长为的正方体的内切球的半径为， 所以，外接球与内切球的体积之比为. 故答案为： 【点睛】本题考查球的体积，考查学生的计算能力，属于基础题. 8．（2021·遵义师范学院附属实验学校高二期末（文））已知的三个顶点在以为球心的球面上，且，三棱锥的体积为，则球的表面积为__________. 【答案】 试题分析：在中，，由勾股定理可知斜边的中点就是的外接球圆的圆心，因为三棱锥的体积为，所以，所以，所以，球的表面积为. 考点：球的表面积的求解. 【能力提升】 一、单选题 1．（2021·白银市第十中学高二期末（文））已知，平面ABC，若，则四面体PABC的外接球（顶点都在球面上）的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取PC的中点O，连接OA，OB，由