第9讲 球（讲义）-【教育机构专用】2021年暑期新高二数学辅导讲义（沪教版2020必修第三册）

第9讲 球 【知识梳理】 1、球的定义： 半圆绕着它的直径所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做球，记作球。半圆绕着它的直径旋转所得到的图形不叫球，叫球面，球面所围成的几何体叫做球．大家要注意球面和球是不同的两个概念．点到球面上任意点的距离都相等，把点称为球心，原半圆的半径和直径分别成为球的半径和球的直径。球面被过球心的平面所截得的圆，叫做球的大圆；被不经过球心的平面所截得的圆，叫做球的小圆． 2、球的性质： 球心和截面圆心的连线垂直于截面；设球心到截面的距离为d，截面圆的半径为r，球的半径为R，则：r= 圆的主要性质 球的主要性质 1 平面内与定点距离等于定长的点集 （轨迹） 空间与定点距离等于定长的点集（轨迹）是球面 2 同圆（或等圆）的半径相等，直径是半径的2倍 同球（或等球）的半径相等，直径是半径的2倍 3 与弦垂直的直径过弦的中点，圆半径2＝圆心到弦距离2＋弦长的一半2 与截面积垂直的直径过截面圆的圆心，球半径2＝球心到截面圆距离2＋截面圆的半径2 4 不过圆心的弦小于直径；经过圆心的弦是直径，是最大的弦 不过球心的截得的是球的小圆，其半径和面积都小于球的大圆的半径和面积；经过球心的截面截得的是球的大圆，是最大的截面圆 5 过切点的圆半径垂直于圆的切线 过切点的球半径垂直于球的切面 6 圆周长＝2π×圆半径 大圆周长＝2π×球半径 3、球的表面积、体积公式：表面积：；球的体积公式：． 【例题解析】 知识点一：球的体积 例1．（2020·青铜峡市高级中学高二月考）已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积与其内切球表面积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正方体性质知，它的外接球的半径为，内切球的半径为，利用球体积，表面积公式计算得结果. 【详解】由正方体性质知，它的外接球的半径为，内切球的半径为， ， ：：2 故选：D 【点睛】本题主要考查了正方体的性质，球的体积，表面积的计算，属于基础题. 例2．（2020·重庆市第七中学校高二月考）已知球的半径为，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，根据球的体积公式，将代入计算即可得到答案. 【详解】解：根据题意，已知球的半径为，则其球的体积为. 故选：D. 【点睛】本题考查球的体积计算，考查运算能力，属于基础题. 例3．（2020·江苏苏州市·高二期中）如图，在圆锥的轴截面中，，有一小球内切于圆锥（球面与圆锥的侧面、底面都相切），设小球的体积为，圆锥的体积为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用数形结合，假设小球的半径为，圆的半径为，然后计算，可得，然后根据体积公式简单计算，可得结果. 【详解】如图 设小球的半径为，圆的半径为 由 所以 由，所以 所以，则 所以 所以， 故选：B 【点睛】本题考查球体、锥体的体积以及内切问题，本题难点在于找到，读懂题意，细心计算，属基础题. 例4．（2020·江西高二期末（理））由与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形可知其图象为半径为1的半圆，从而可得所得旋转体是一个半径为1的球，根据球的体积公式可得结果. 【详解】由，得，此方程表示半径为1的半圆， 所以所得旋转体是一个半径为1的球，其体积为. 故选：A. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，考查了球的体积公式，属于基础题. 例5．（2020·六安市城南中学高二期中（理））已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是，则该正方体的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体内切球直径与棱长相等，结合已知条件及球体体积公式求正方体的棱长，进而求正方体的表面积. 【详解】正方体性质知：内切球的直径等于棱长， ∴由题意，，得， ∴正方体表面积. 故选：C. 例6．（2021·浙江高二期末）已知球O的体积为，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据球的体积公式求出半径，即可求出表面积. 【详解】设球的体积为，则由题可得，解得， 则该球的表面积为. 故选：D. 例7．（2020·福建三明市·高二期中）将一个棱长为2的正方体铁块打磨成一个球体零件，则可以制作的最大零件的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出该球体为正方体的内切球时体积最大，最后由球的体积公式得出答案. 【详解】由题意可知，当该球体为正方体的内切球时，即该球体半径，可使得体积最大 故选：C 例8．（2020·重庆市育才中学高二期中）在