第1章 1.5 全称量词与存在量词-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

1.5　全称量词与存在量词 学 习 目 核 心 素 养 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义. 2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．(重点、难点) 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点) 1.通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养. 2.借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养. 1．给出下列命题：①所有的矩形都是平行四边形；②对任意一个x∈R，都有x2＞0；③每一个菱形的对角线都垂直；④自然数是正整数． 问题：(1)上述命题①②③中的“所有的”“任意一个”“每一个”都表示什么含义？如何定义这类命题？ (2)命题④是全称量词命题吗？它的量词是什么？ 提示：(1)这些短语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． (2)是全称量词命题．它的量词是“所有的”(“每一个”等)．即所有的自然数都是正整数． 2．给出下列命题：①有些矩形不是平行四边形；②存在一个x∈R，使得x2≤0；③至少有一个菱形的对角线不垂直；④有的自然数不是正整数． 问题：上述命题中的“有些”“存在一个”“至少有一个”“有的”都表示什么含义？如何定义这类命题？ 提示：这些短语在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． 1．全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示．变量x的取值范围用M表示．那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 2．存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． (2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为∃x∈M，p(x)． 思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式． 提示：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”． 3．含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定p：∃x∈M，p(x)； 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定p：∀x∈M，p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题． (　　) (2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题． (　　) (3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x∉R，x2－3x＋3≤0. (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．下列全称量词命题为真命题的是(　　 ) A．所有的质数是奇数 B．∀x∈R，x2＋1≥1 C．对每一个无理数x，x2也是无理数 D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5 [答案]　B 3．下列命题中的假命题是(　　 ) A．∀x∈R，|x|≥0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，x＋2019<1 D．∃x∈R,2x＞2 B　[当x＝1时，(x－1)2＝0， 所以B项为假命题．] 4．(1)命题“有些梯形是等腰梯形”的否定为：________. (2)命题“存在一个实数，它的绝对值不是正数”的否定为：________. [答案]　(1)任意梯形都不是等腰梯形 (2)任意实数的绝对值是正数 全称量词命题和存在量词命题的判断 【例1】　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N,2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使eq \f(1,x－1)＝0； (3)对任意实数a，|a|＞0； (4)有一个角α，使sin α＝eq \f(1,2). [解]　(1)是全称量词命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使eq \f(1,x－1)＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题． (4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝eq \f(1,2)，所以该命题是真命题． 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法： (1(要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x(成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集