第1章 预备知识 章末综合提升-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(北师大版)

[巩固层·知识整合] [提升层·题型探究] 集合及其数学思想 【例1】　(1)已知全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1，3，4}　 B．{3，4} C．{3} D．{4} (2)已知集合A＝{x|－3＜x＜3}，B＝{x|2k－1＜x＜2k＋1}，且A∪B＝A，则实数k的取值范围是_______． (3)已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是_______． (1)D　(2)－1≤k≤1　(3){m|m≤－1}　[(1)∵A∪B＝{1，2，3}，∴∁U(A∪B)＝{4}． (2)由A∪B＝A，得A⊇B，又B≠∅，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k－1≥－3,2k＋1≤3))，解得－1≤k≤1. (3)设全集U＝{m|Δ≥0}＝{m|(－4m)2－4(2m＋6)≥0}＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m≤－1，或m≥\f(3,2))))). 若方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m∈U,x1＋x2＝4m≥0，,x1x2＝2m＋6≥0))解得m≥ eq \f(3,2)， ∵ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m≥\f(3,2)))))在U中的补集为{m|m≤－1}． ∴实数m的取值范围是{m|m≤－1}．] 1．交集思想 许多数学问题是求同时满足若干个条件p1，p2，…，pn的解，如果把满足各条件的对象表示成集合A1，A2，…，An，则Q＝A1∩A2∩…∩An就是问题的解集．如列方程组或不等式组解应用题等，都是运用交集思想方法解题的具体体现． 2．并集思想 有些数学问题需要分若干种情况讨论，若将问题分为n类，每类问题的解集为A1，A2，…，An，则Q＝A1∪A2∪…∪An就是问题的解集． 3．补集思想 “正难则反”策略是指当某一问题从正面解决困难时，我们可以从其反面入手解决．这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A. eq \a\vs4\al([跟进训练]) 1．(1)若全集U＝{1，2，3，4，5，6)，M＝{2，3}，N＝{1，4}，则集合{5，6}等于(　　) A．M∪N B．M∩N C．(∁UM)∪(∁UN) D．(∁UM)∩(∁UN) (2)已知A，B均为集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝(　　) A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9} (3)已知关于x的不等式 eq \f(a（x－1）,x－2)>2的解集为A，且3A，则实数a的取值范围为________． (1)D　(2)D　(3){a|a≤1}　[(1)因为M∪N＝{1，2，3，4}，所以(∁UM)∩(∁UN)＝∁U(M∪N)＝{5，6}，故选D. (2)由Venn图可知A＝{3，9}． (3)因为3A，所以3∈∁UA＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a（x－1）,x－2)))≤2或x＝2}， 即当x＝3时，有 eq \f(a（3－1）,3－2)≤2，故a≤1.] 充分条件与必要条件 【例2】　(1)若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为_______． (1)A　(2)－1　[(1)若a＞0且b2－4ac＜0，则对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0，反之，则不一定成立．如a＝0，b＝0且c＞0时，也有对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0.故选A. (2)由题意知：{x|x＜a}⊆{x|x＜－1或x＞1}，所以a≤－1.] 1．充分条件、必要条件的判断方法 定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假． 集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． 2．判断指定条件与结论之间关系的基本步骤：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系． 3．利用充要条件可进行命题之间的等价转化． eq \a\vs4\al([跟进训练]) 2．(1)设集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}