第1章 4.3 一元二次不等式的应用-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(北师大版)

4.3　一元二次不等式的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 掌握一元二次不等式解法的实际应用．(重点、难点) 通过一元二次不等式解法的实际应用，培养数学建模素养． 1．分式不等式的解法 类型 同解不等式 eq \f(ax＋b,cx＋d)>0 (其中a，b，c，d为常数) 法一： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋b>0,cx＋d>0))，或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋b<0,cx＋d<0))； 法二： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋b)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cx＋d))>0. eq \f(ax＋b,cx＋d)≥0 (其中a，b，c，d为常数) 法一： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋b≥0,cx＋d>0))，或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋b≤0,cx＋d<0))； 法二： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋b))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cx＋d))≥0,cx＋d≠0)). eq \f(ax＋b,cx＋d)>k (其中a，b，c，d，k为常数) 先移项转化为 eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－ck))x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－kd)),cx＋d)>0，再求解 对于分式不等式的其他类型，可仿照上述方法求解． 思考：已知集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\co1(x))\f(x＋a,x＋b)>0))，则集合∁RA与 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\co1(x))\f(x＋a,x＋b)≤0))相等吗？ 提示：　不相等，∁RA＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\co1(x))\f(x＋a,x＋b)≤0或x＋b≠0)). 2．建立一元二次不等式模型的步骤 (1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系). (3)解不等式(或求函数的最值). (4)回扣实际问题． 1．设全集I＝R，M＝{x|x2>4}，N＝{x| eq \f(2,x－1)≥1}，如图，则图中阴影部分所表示的集合为(　　) A．{x|x<2}　　　　　 B．{x|－2<x<1} C．{x|－2≤x≤2} D．{x|1<x≤2} D　[图中阴影部分就是M的补集与N的交集，先化简集合M和N，通过运算可知应选D.] 2．不等式(x2－7x＋12)(x2＋x＋1)＞0的解集为(　　) A．(－∞，－4)∪(－3，＋∞) B．(－∞，3)∪(4，＋∞) C．(－4，－3) D．(3，4) B　[∵x2＋x＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2))) eq \s\up8(2)＋ eq \f(3,4)＞0恒成立．∴原不等式等价于x2－7x＋12＞0， ∴不等式的解集为{x|x＜3或x＞4}．] 3．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<240，x∈N*))，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总体)的最低产量是(　　) A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 C　[由题意知：利润为25x－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3000＋20x－0.1x2))＝0.1x2＋5x－3000， 由0.1x2＋5x－3000≥0，得x≥150或x≤－200(舍去)，故选C.] 4．一服装厂生产某种风衣，月产量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P＝160－2x，生产x件的成本总数R＝500＋30x(元)，假设生产的风衣当月全部售出．试问该厂的月产量为多少时，每月获得的利润不少于1 300 元？ [解]　设该厂月获得的利润为y元，则 y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80). 由题意知y≥1 300， 所以－2x2＋130x－500≥1 300，解得20≤x≤45. 所以当月产量在20至4