第1章 3.1 不等式的性质-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(北师大版)

§3　不等式 3.1　不等式的性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握实数大小的比较方法．(重点) 2．掌握不等式的性质．(重点) 3．能利用不等式的性质对不等式进行简单的变形．(重点、难点) 1．通过实数大小的比较及不等式性质的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助不等式性质的应用，提升数学运算素养． 1．实数a，b大小的比较 设a，b∈R，则 (1)a>b⇔a－b＞0；(2)a＝b⇔a－b＝0;_(3)a<b⇔a－b＜0. 2．不等式的基本性质 性质 性质内容 注意 传递性 a＞b，且b＞c⇒a＞c ⇒ 可加性 a＞b⇒a＋c＞b＋c ⇒ 可乘性 a>b，且c>0⇒ac＞bc c的符号 a>b，且c<0⇒ac＜bc 加法法则 a>b，且c>d⇒a＋c＞b＋d ⇒ 乘法法则 如果a>b>0，c>d>0⇒ac＞bd＞0；如果a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac＜bd＜0 ⇒ 思考：若ab≠0，则a>b⇔ eq \f(1,a)< eq \f(1,b)成立吗？ 提示：当a，b同号时成立，异号时不成立． 1．若a>b，c>d，则下列不等关系中不一定成立的是(　　) A．a－b>d－c　　 B．a＋d>b＋c C．a－c>b－c D．a－c<a－d [答案]　B 2．与a>b等价的不等式是(　　) A． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))> eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)) B．a2>b2 C． eq \f(a,b)>1 D．a3>b3 D　[可以用赋值法，令a＝－1，b＝－2，可知选项A、B、C错误，故选D.] 3．已知a<0，－1<b<0，则a，ab，ab2从小到大排列为________． a＜ab2＜ab　[因为－1＜b＜0，所以1＞b2＞b，又因为a＜0，所以a＜ab2＜ab.] 4．已知a≠b，试比较a2＋b2与2ab的大小． [解]　因为a2＋b2－2ab＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b)) eq \s\up8(2)， 又a≠b， 所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b)) eq \s\up8(2)>0，即a2－ab＋b2－ab>0. 所以a2＋b2>2ab. 作差法比较两实数大小 【例1】　已知－ eq \f(1,2)<a<0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝ eq \f(1,1＋a) ，D＝ eq \f(1,1－a)，试比较A，B，C，D的大小． [思路点拨]　先通过赋值估计A、B、C、D的大小，再用作差比较法比较． [解]　 注意到－ eq \f(1,2)<a<0，不妨取a＝－ eq \f(1,4)， 这时A＝ eq \f(17,16)，B＝ eq \f(15,16)，C＝ eq \f(4,3)，D＝ eq \f(4,5)， 由此猜测：C>A>B>D. 下面再来证明这个结论： C－A＝ eq \f(1,1＋a)－(1＋a2)＝ eq \f(－a（a2＋a＋1）,1＋a) ＝ eq \f(－a\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))\s\up8(2)＋\f(3,4))),1＋a). ∵1＋a>0，－a>0， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2))) eq \s\up8(2)＋ eq \f(3,4)>0，∴C>A. ∵A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0， ∴A>B. B－D＝1－a2－ eq \f(1,1－a)＝ eq \f(a（a2－a－1）,1－a) ＝ eq \f(a\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))\s\up8(2)－\f(5,4))),1－a). ∵－ eq \f(1,2)<a<0， ∴1－a>0， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2))) eq \s\up8(2)－ eq \f(5,4)< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,2))) eq \s\up8(2)－ eq \f(5,4)<0， ∴B>D. 综上：C>A>B>D. 1．要比较多个式子的大小，为避免盲目性，可通过赋值估计各式的大小关系，再用作差比较法比较． 2．作差比较法中关键的一步是对差变形，常见的变形有通分、分解、配方等，变形的目的是有利于判断差的符号． eq \a\vs4\al([跟进训练]