专题13 排列组合与二项式定理-十年（2012-2021）高考数学真题分项汇编（全国通用）

专题13 排列组合与二项式定理 【2021年】 1．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【分析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C. 2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空， 若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法， 所以2个0不相邻的概率为. 故选：C. 【2012年——2020年】 1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））的展开式中x3y3的系数为（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】展开式的通项公式为（且） 所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为： 和 在中，令，可得：，该项中的系数为， 在中，令，可得：，该项中的系数为 所以的系数为 故选：C 2．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A． 3．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为 A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】由题意得x3的系数为，故选A． 4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C. 5．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）的展开式中的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【详解】：：由题可得 令,则 所以 故选C. 6．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））（2017新课标全国卷Ⅰ理科）展开式中的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35 【答案】C 【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C. 7．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　 A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】D 【详解】4项工作分成3组,可得：=6， 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：种．故选D. 8．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））的展开式中，的系数为 A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】C 【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C. 9．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】：由题意可知,,,即, ,解得．故B正确． 10．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2））已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝ A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 【答案】D 【详解】 由题意知：，解得，故选D. 11．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））将名教师，名学生分成个小