小题压轴题专练2—函数的零点（2）-2022届高三数学一轮复习

小题压轴题专练2—函数的零点（2） 一．单选题 1．已知函数 有唯一零点，则 　　 A．0 B． C．1 D．2 解： ，由函数解析式结构结合题干可猜想函数 为偶函数，则 ， 下证明当 时， ， 仅有唯一零点，显然 ， 令 ， ， ， ， 易知函数 在 单调递减，在 单调递增，函数 在 ， 单调递增， 由复合函数的单调性可知，函数 在 单调递减，在 单调递增， 又 为偶函数，且 ，则 仅有唯一零点 ，符合题意． 故选： ． 2．将方程 的实数根称为函数 的“新驻点”．记函数 ， ， 的“新驻点”分别为 ， ， ，则 　　 A． B． C． D． 解：令 ，则 ，解得 ，即 ； 令 ，则 ， 设 ，则 ， 即函数 在 单调递增， 又 ， 函数 在 上存在唯一零点，即 ； 令 ，则 ， 解得 ，则 ． ． 故选： ． 3．已知 是定义在 上周期为2的函数，当 ， 时， ．若关于 的函数 有唯一零点，则实数 的取值范围是 　　 A． B． C． D． 解：由 是定义在 上周期为2的函数，当 ， 时， ， 作出函数 的图象如图所示， 因为函数 有唯一零点，即方程 有唯一的根， 所函数 与函数 的图象仅有一个交点， 当 ，即 时，由图象可知，符合题意； 当 ，即 时，函数 的图象恒过定点 ， 要使得函数 与函数 的图象仅有一个交点， 则有 ，解得 ． 综上所述，实数 的取值范围为 ． 故选： ． 4．已知函数 是定义域为 的奇函数．当 时， ，则函数 在 ， 上的零点个数为 　　 A．3 B．4 C．5 D．6 解：令 ，即 ， 函数 为 上的奇函数，则 ， 函数 也是 上的奇函数， 故只需研究当 时的零点个数即可， 又当 时， ， 故在同一坐标系下，作出函数 与 的函数图象，如图所示， 由图象可得，当 时，函数 与 的函数图象有2个交点， 则当 时，函数 与 的函数图象也有2个交点， 又 也是它们的交点， 故函数 与 的函数图象有5个交点， 即函数 在 ， 上的零点个数为5个． 故选： ． 5．已知函数 是定义在区间 ， ， 上的偶函数，且当 时， ，则方程 根的个数为 　　 A．3 B．4 C．5 D．6 解：方程 根的个数 函数 与函数 的图象交点个数，图象如下： 由图象可知两函数图象有6个交点． 故选： ． 6．已知函数 ， 在 上有3个不同的零点，则实数 的取值范围是 　　 A． ， B． ， ， C． ， D． ， ， 解： 在 上有3个不同的零点， 在 上有3个不同的解， 当 时， ，显然有3个不同的解， 当 时，由图可知，函数 和 在 上有2个不同的交点，如下图所示，不合题意， 当 时，由图可知，函数 和 在 上有3个不同的交点，如下图所示， 当 时，由图可知，函数 和 在 上有2个不同的交点，如下图所示，不合题意， 当 时，由图可知，函数 和 在 上有2个不同的交点，如下图所示，不合题意， 当 时，由图可知，要使 在 上有3个不同的解， 必须满足 与 有两个不同的交点， 当 与 相切时，满足 有唯一根，如下图所示， 此时 有唯一解，由△ 可求得 或 （舍去）， EMBED Equation.DSMT4 ， 综上所述， 或 ． 故选： ． 7．已知函数 ，若函数 仅有1个零点，则实数 的取值范围为 　　 A． ， B． ， C． ， D． ， 解：令 ， 故 等价于 ， 作出函数 的大致图像如图所示， 观察可知，临界状态为直线 与曲线 在 ， 处的切线， 当 时， ， 则 ，故 ， 由图象可知，若 只有1个零点，则实数 的取值范围为 ， ． 故选： ． 8．若函数 的所有零点之和为0，则实数 的取值范围为 　　 A． ， B． ， C． ， D． ， 解：当 时函数零点即为方程 的解，解得： ． 当 时，函数零点即为方程 的解，方程整理得： ， 设两个根为 、 ，则由题意知 ， ， ， 由根与系数关系可知 ， ， ， 设 ， ， ， ，由 得： ， 函数 在 ， 上递减，在 ， 上递增，又 当 时， ； 当 或2时， ． ， ． 故选： ． 二．多选题 9．已知函数 若关于 的方程 有且仅有一个实数解，且幂函数 在 上单调递增，则实数 的取值可能是 　　 A．1 B． C．2 D． 解：函数的图形如图，因为 有且仅有一个实数解． 即 的图象与 有且仅有一个交点， 所以 ， ，0， ， 又因为 在 上单调递增， 所以 ，所以 ， ． 实数 的取值可能是：1， ． 故选： ． 10．用符号 表示不超过 的最大整数，例如： ， ．设 有3个不同的零点 ， ， ，则 　　 A． 是 的一个零点 B． C． 的取值范围是 ， D．若 ，则 的范围是 ， 解：令 ，则 或 ，由 解得 ，故选项 正确； 又 有3个不同的零点，故