小题压轴题专练1—函数的零点（1）-2022届高三数学一轮复习

小题压轴题专练1—函数的零点（1） 一．单选题 1．已知函数 满足 ，且 ， 时， ，若 ， 时，方程 有三个不同的根，则 的取值范围为 　　 A． B． C． D． 解：因为 ， 所以函数 的图象关于直线 对称， 当 ， 时， ， 则当 ， 时， 的图象如图所示， 直线 为过定点 的一条直线， 当直线与当 ， 时的函数 的图象相切时， 直线与 在 ， 的图象有两个公共点， 当 ， 时，函数 ， ，设切点为 ， ， 切线的斜率 ，则切线方程为 ， 把点 代入得 ，所以 ； 当直线过点 ， 时， ， 所以 的取值范围为 ， 故选： ． 2．已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）﹣ax＝0有两个根，则a的取值范围是（　　） A．（0，]∪[﹣，﹣2） B．（0，）∪[﹣，﹣2] C．（﹣∞，﹣）∪[，+∞）∪{0，﹣2} D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） 解：设函数y＝f（x）和y＝ax，作出函数f（x）的图象如图： 要使方程f（x）﹣ax＝0有两个根，即函数y＝f（x）和y＝ax有两个不同的交点， ∵f（﹣2）＝5，f（5）＝|5+﹣4|＝， 当y＝ax经过点（5，）时，a＝；当过点（﹣2，5）时，此时a＝﹣， 当直线y＝ax与y＝x2+1相切时， 联立，得x2﹣ax+1＝0，由△＝a2﹣4＝0， 解得a＝±2，结合图象可得a＝﹣2， 综上所述，a的取值范围为[﹣，﹣2）∪（0，]， 故选：A． 3．已知 、 分别是函数 、 的零点，则 的值为 　　 A． B． C．2 D．4 解：根据题意，已知 、 分别是函数 、 的零点， 函数 的零点为函数 与 的交点的横坐标， 则两个函数图象的交点为 ， 函数 的零点为函数 与 的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为 ， ， 又由函数 与函数 互为反函数，其图象关于直线 对称， 而直线 也关于直线 对称，则点 和 ， 也关于直线 对称，则有 ， 则有 ， 故选： ． 4．已知a∈R，函数，则方程的实根个数最多有（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 解：因为函数， 即．作函数y＝f（x）的图象如下： 当f（x）＝1时，解得x＝1或3或或﹣4， 即当a＝1时，或3或或﹣4． 又因为或， 所以，当时，只有一个x＝﹣2与之对应， 其它情况都有2个x值与之对应， 故此时所求的方程有7个根．当1＜a＜2时，y＝f（x）与y＝a有4个交点， 故有8个根；当a＝2时，y＝f（x）与y＝a有3个交点， 故有6个根；综上所述，方程的实根个数最多有8个． 故选：C． 5．设函数 ，若方程 恰有2个实数解，则实数 的取值范围是 　　 A． B． C． D． 解：由题意当 时， ， 令 ，可得 或 ． 函数 ， 当 时，根据 与 恒有两个交点． 当 时，函数 恒过点 ， 若 ， ，则 与 恒有一交点， 则 在 与 必一交点； 设函数 与 的切点为 ， 根据曲线的切线的性质，则 ，解得 ， 若 ，即 ， ，由 与 有一交点， 由 在 与 无交点；则 ， 此时 与 恒有2交点， 则方程 恒有两个解， 即△ ，此时 ； 综上可得 ， 故选： ． 6．已知函数 ，函数 在区间 ， 上恰有三个不同的零点 ， ， ，则 　　 A． B． C．1 D．2 解： ， 要使 在区间 ， 上恰有三个不同的零点，则需函数 的图象与直线 有三个不同的交点， 作出函数 的大致图象如下图所示， 不妨设 ，由图象可知， ，则 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 故选： ． 7．已知函数 ，若关于 的方程 有四个不同的实数根，则实数 的取值范围是 　　 A． B． ， C． ， D． 解：设 ，该直线恒过点 ，结合函数图象，可知若方程 有四个不同的实数根，则 ， 又直线 与曲线 在 时有两个不同的公共点， 在 时有两个不同的实数根， 令 ，则 ，解得 ． 故选： ． 8．已知定义在 上的函数 ，对任意 都满足 ，且当 时 ，则函数 的零点个数为 　　 A．12 B．14 C．15 D．16 解：由 ，得 周期为2，又当 时 ，为偶函数，易知 在 上为偶函数， 此时 为偶函数，故只需考虑 的情况， 分别画出 时 和 的图象，如下图所示， 最大值为2，令 ， ， ， 由图象可知，一共有7个交点，所以一共有14个交点， 即函数 的零点个数为14． 故选： ． 二．多选题 9．设 是定义在 上的偶函数，且 ，当 ， 时， ，若函数 且 在区间 内恰有4个零点，则实数 的值可以是 　　 A．7 B．8 C．9 D．10 解：因为 是定义在 上的偶函数， 所以 的图象关于 轴对称， 又 ， 所以 的图象关于 对称， 因为 ， 故函数