勾股定理的应用（整合训练）-2021年八年级数学暑假作业（人教版）

勾股定理的应用整合训练 一、单选题 1．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的边长为4．若按照图①至图③的规律设计图案，则在第 个图中所有等腰直角三角形的面积和为（ ） A． B． C． D．32 【答案】A 【详解】 解：在图①中，正方形的边长为4， ∴等腰直角三角形①的直角边长为： ∴等腰直角三角形①的面积= 在图②中，最大的正方形的边长是4，最大的等腰直角三角形①的直角边长是 故可得等腰直角三角形②和③的直角边长都是2 ∴ 如图③，同理可求等腰直角三角形④⑤⑥⑦的直角边长均为 ∴ = = = = 由此可得规律：第n个图形中，所有等腰直角三角形的面积和为4n， 故选A． 2．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边 ，直角边 ， ．若 的三边所围成的区域面积记为 ，黑色部分面积记为 ，其余部分面积记为 ，则下列关系式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ∵ 的三边所围成的区域面积记为 ，黑色部分面积记为 ，其余部分面积记为 ， ∴ = = ， = ， ∵在Rt△ABC中， ， ∴ ， 故选：A． 3．如图，在矩形 中， ，将矩形沿对角线 折叠，则 的面积为（ ） A．156 B．78 C．60 D．30 【答案】B 【详解】 ∵在矩形 中， ，∴ ．由折叠的性质可得 ，∴ ．∴ ．设 ，则 ，在 中，由勾股定理得 ，解得 ，∴ ． 4．如图，在 中， ， ， ，D为 边上一点，将 沿 折叠，若点B恰好落在线段 的延长线上点E处，则 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：∵∠ACB=90°，AB=13，BC=12， ∴AC= =5， 由折叠可知：AB=AE=13，BD=DE， ∴CE=AE-AC=8， ∵BC=CD+BD=CD+DE， ∴CD=BC-DE=12-DE， ∴在△CDE中， ， 解得：DE= ， 故选C． 5．《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（ ） A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 C．x2＝42＋（x﹣2）2 D．x2＝（x﹣4）2＋22 【答案】A 【详解】 解：根据勾股定理可得： x2=（x-4）2+（x-2）2， 故选：A． 6．学习勾股定理后，老师布置的课后作业为“利用绳子（绳子足够长）和卷尺，测量学校教学楼的高度”，某数学兴趣小组的做法如下：①将绳子上端固定在教学楼顶部，绳子自由下垂，再垂直向外拉到离教学楼底部3m远处，在绳子与地面的交点处将绳子打结；②将绳子继续往外拉，使打结处离教学楼的距离为6m，此时测得绳结离地面的高度为 1m，则学校教学楼的高度为（　　） A．11 m B．13 m C．14 m D．15 m 【答案】C 【详解】 解：如图， 设学校教学楼的高度为 ，则 ， ， ， 左图，根据勾股定理得，绳长的平方 ， 右图，根据勾股定理得，绳长的平方 ， ∴ ， 解得： ． 故选：C． 7．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，断落的木杆与地面形成 角，则木杆原来的长度是（　） A．8米 B． 米 C．16米 D．24米 【答案】B 【详解】 如图，根据题意可知 为等腰直角三角形，且 米， ． ∴ 米． ∴在 中， 米 ． 故木杆原来的长度为 米． 故选：B． 8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈 尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为 尺，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：设折断处离地面的高度为 尺，则斜边为（10-x）尺， 根据勾股定理得： ， 故选：D． 9．如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西 的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西 的方向行驶30海里到达C地，则A､C两地相距（ ） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 【答案】C 【详解】 如解图，连接 ， ∵ ， ∴ ， 在 中， 海里． 故选：C． 二、填空题 10．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________． 【答案】100． 【详解】 解：由题意可知，直角三角形