专题11.3 三角形的内角-重难点题型-2021-2022学年八年级数学上册举一反三系列（人教版）【学科网名师堂】

专题11.3 三角形的内角-重难点题型 【人教版】 【知识点1 三角形的内角及内角和定理】 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且 小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 【题型1 三角形的内角和定理】 【例1】（2021春•玄武区校级月考）在△ABC中， （1）若∠A：∠B：∠C＝4：5：6，则∠C＝　 　度． （2）若∠A∠B∠C，则∠B＝　 　度． 【分析】（1）设∠A＝4x°，则∠B＝5x°，∠C＝6x°，利用三角形内角和定理，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入∠C＝6x°中即可求出∠C的度数； （2）设∠A＝y°，则∠B＝2y°，∠C＝3y°，利用三角形内角和定理，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，再将其代入∠B＝2y°中即可求出∠B的度数． 【解答】解：（1）设∠A＝4x°，则∠B＝5x°，∠C＝6x°， 依题意得：4x+5x+6x＝180， 解得：x＝12， ∴∠C＝6x°＝72°． 故答案为：72． （2）设∠A＝y°，则∠B＝2y°，∠C＝3y°， 依题意得：y+2y+3y＝180， 解得：y＝30， ∴∠B＝2y°＝60°． 故答案为：60． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及解一元一次方程，牢记三角形内角和是180°是解题的关键． 【变式1-1】（2020秋•下城区期末）在△ABC中，∠A是钝角，∠B＝30°，设∠C的度数是α，则α的取值范围是　 　． 【分析】根据三角形内角和定理表示出∠A，列出不等式，求解即可． 【解答】解：设∠C的度数是α， ∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝30°， ∴∠A＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α， ∵∠A是钝角， ∴90°＜150°﹣α＜180°， ∴﹣30°＜α＜60°， ∵α＞0°， ∴0°＜α＜60°． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，正确表示出∠A并利用它的大小列出不等式是解题的关键． 【变式1-2】（2021春•靖江市月考）如图，线段AD和BC相交于点O，若∠A＝70°，∠C＝85°，则∠B﹣∠D＝　 　． 【分析】利用三角形内角和定理可得出∠D＝180°﹣∠C﹣∠COD，∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB，结合对顶角相等可得出∠B﹣∠D＝∠C﹣∠A＝15°，此题得解． 【解答】解：∵∠C+∠D+∠COD＝180°，∠A+∠B+∠AOB＝180°， ∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠COD，∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB． ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠B﹣∠D＝（180°﹣∠A﹣∠AOB）﹣（180°﹣∠C﹣∠COD）＝∠C﹣∠A＝85°﹣70°＝15°． 故答案为：15°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及对顶角，牢记三角形内角和是180°是解题的关键． 【变式1-3】（2020秋•洪山区期中）如图所示的折线图形中，α+β＝　 　． 【分析】如图，连接BC．利用三角形内角和定理以及四边形内角和定理求解即可． 【解答】解：如图，连接BC． 在△EBC中，∠1+∠2＝180°﹣∠E＝140°， 在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠BCD+∠D＝360°， ∴70°+α+∠1+∠2+β+65°＝360°， ∴α+β＝360°﹣70°﹣65°﹣140°＝85°， 故答案为85°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造四边形解决问题，属于中考常考题型． 【题型2 三角形的内角和定理的应用（含三角板）】 【例2】（2020春•江都区期末）将一副三角板如图放置，则图中的∠1＝　 　°． 【分析】先用三角形内角和定理求出角4的度数，即可得出结论． 【解答】解：由题意得：∠2＝60°，∠3＝45°， 根据三角形的内角和得， ∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝75°， ∴∠1＝∠4＝75°， 故答案为：75． 【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，关键是理清图中角之间的关系． 【变式2-1】（2020秋•光明区期末）将两块分别含有30°和45°角的直角三角板按如图所示叠放，若∠1＝∠2，则∠3＝　 　°． 【分析】根据等角的余角相等得到∠3＝∠4，再根据三角形内角和定理和∠5的度数即可得到结论． 【解答】解：如图，∵∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4， ∵∠5＝45°， ∴∠3＝∠4（180°﹣45°）＝67.5°， 故答案为：67.5． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键． 【变式2-2】（2020秋•涪城区校级期末）一副三角板如图方式摆放，BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，则∠BMD的度数为（　　） A．102° B