第7讲 柱体（讲义）-【教育机构专用】2021年暑期新高二数学辅导讲义（沪教版2020必修第三册）

第7讲 柱体 【知识梳理】 一、棱柱 1.棱柱定义：如果一个多面体有两个全等的多边形的面互相平行，且不在这两个面上的棱都相互 平行，那么这个多面体叫做棱柱； 棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的底面，其他的面叫做棱柱的侧面； 棱柱的侧面都是平行四边形； 不在底面上的棱叫做棱柱的侧棱； 两个底面间的距离叫做棱柱的高． 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，否者为斜棱柱。 正棱柱：底面是两个正多边形的直棱柱成为正棱柱 2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3、棱柱的表示方法： ①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、； ②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等． 4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行. 要点诠释： 有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱． 判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱． 二、圆柱 1.圆柱的定义：将矩形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆柱； 所在直线叫做圆柱的轴； 线段和旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 线段旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；叫做圆柱侧面的一条母线； 圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做圆柱的高 【性质】根据圆柱的形成过程易知： 1 圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行； 2 圆柱有两个相互平行的底面. 三．多面体的直观图 斜二测画图法：画直观图时，规定在铅垂方向和左右方向上线段的长度与其表示的真实长度相等，而在前后方向上，线段的长度是其表示的真实长度的二分之一，根据这样的规定，我们可以画出空间图形的直观图，这样的画图方法简称“斜二测”画图法． 如图，是一个用斜二测方法画的正方体的直观图，轴与轴方向上的长度等于正方体边长，轴方向上的长度等于边长一半 【注意】“斜二测”画图法有两条重要性质： ① 平行直线的直观图仍是平行直线； ② 线段及其线段上定比分点的直观图保持原比例不变. 四.柱体的体积 柱体的体积：（为柱体的高） 圆柱的体积：（分别为圆柱的高和底面半径） 5. 柱体的表面积 1．柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h． 综上，柱体的体积公式为V=Sh． 2．圆柱的表面积 （1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr． （2）圆柱的表面：． 【例题解析】 知识点一：棱柱 例1．（2020·南昌县莲塘第三中学高二月考）如图所示，下列四个几何体： 其中不是棱柱的序号是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据棱柱的定义直接判断出结果. 【详解】棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各个面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行. 由此可知②中没有互相平行的平面，所以不是棱柱， 故选：B. 【点睛】本题考查棱柱的定义，主要考查学生对棱柱概念的理解，难度容易. 例2．（2020·湖南高二学业考试）如图所示的几何体是（ ） A．圆锥 B．棱锥 C．圆台 D．棱柱 【答案】D 【分析】分析几何体的结构，可得出合适的选项. 【详解】由图形可知，该几何体有两个面平行且全等，侧棱平行且相等，故该几何体为棱柱. 故选：D. 【点睛】本题考查几何体的识别，属于基础题. 例3．（2020·南昌县莲塘第三中学高二期末（文））如图，三棱柱被平面截成两个几何体Ⅰ、Ⅱ，且平面平面，则（ ） A．Ⅰ是棱柱，Ⅱ不是棱柱 B．Ⅰ不是棱柱，Ⅱ是棱柱 C．Ⅰ是棱柱，Ⅱ是棱柱 D．Ⅰ不是棱柱，Ⅱ不是棱柱 【答案】C 【分析】根据平面平行的性质和棱柱的性质，结合棱柱的定义进行判断即可. 【详解】由平面平面可知：平面与三棱柱的各个侧面都平行，而三棱柱上下底面平行且是全等形，因此三角形与三角形是全等三角形，四边形和四边形是全等的四边形，根据棱柱的定义可知：Ⅰ，Ⅱ都是棱柱. 故选：C 【点睛】本题考查了棱柱的判断，考查了平面平行的性质，考查了棱柱的性质，属于基础题. 例4．（2020·山西省长治市第二中学校高二月考（文））如图