浙江省宁波市九校2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题

宁波市2020学年第二学期九校联考高二数学试题 选择题部分（40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知实数 ，， ，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2. 不论实数 为何值时，函数 图象恒过定点，则这个定点坐标为（ ） A. B. C D. 【答案】B 3. 下列四个命题中是真命题的是（ ） A. ， B ， C. ， D. ， 【答案】C 4. 在 的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 5. 函数 的部分简图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 6. 一次志愿者活动中，其中小学生2名、初中生3名、高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生排在正中间，要求3名高中生中任意两名不相邻，则不同的排法有（ ） A. 144 B. 216 C. 288 D. 432 【答案】D 7. 对于 ， ，规定 ，点集 从点集 中任取一个点，在点横纵坐标有偶数的条件下，横纵坐标都是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 8. 已知函数 是定义在 上的减函数，其导函数 满足 ，则下列结论中正确的是（ ） A. 恒成立 B. 当且仅当 时， C. 恒成立 D. 当且仅当 时， 【答案】C 9. 已知随机变量 的分布列如下，若 ，则 的值可能是（ ） 1 2 4 A. B. C. D. 【答案】B 10. 已知对任意的 ，恒有 成立，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 非选择题部分 三、填空题：共7小题，多空题6分，单空题4分，满分36分. 11. 已知 ， ，则 ________； ________. 【答案】 ① ②. 12. 已知定义在 上的奇函数，已知 ， ，则 ________，该函数的解析式为________. 【答案】 ①. ②. 13. 意大利画家达·芬奇在绘制《抱银貂的女子》（下图）时曾仔细思索女子脖子上的黑色项链的形状是什么曲线？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究发现悬链线方程与双曲余弦曲线密切关联，双曲余弦曲线 的解析式为 （ 为自然对数的底数）.若直线 与双曲余弦曲线 交于点 ， ，曲线 在 ， 两点处的切线相交于点 ，且 为等边三角形，则 ________， ________. 【答案】 ①. 2 ②. 14. 已知 ，若 ，则 ________； ________. 【答案】 ①. 31 ②. 80 15. 将 个相同的小球放入 、 、 三个盒子，其中 盒子至少有 个小球，有________种放法. 【答案】 16. 已知函数 和 ，对于任意 ， ，且 时，都有 成立，则实数 的取值范围为________. 【答案】 17. 已知函数 和 ，有下列四个结论： ①当 时，若函数 有3个零点，则 ； ②当 时，函数 有6个零点； ③当 时，函数 的所有零点之和为 ； ④当 时，函数 有3个零点； 其中正确结论的序号为________. 【答案】①②③ 三、解答题：共5小题，满分74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 设全集为 ， ， . （1）若 ，求 ， ； （2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ， ；（2） 19. 对于定义域为 的函数 ，如果存在正数 和区间 ，使得函数 满足 ，则称该函数为“ 倍函数”，区间 为“优美区间”.特别地，当 时，称该函数为“一致函数”. （Ⅰ）若 是“ 倍函数"，求 的取值范围； （Ⅱ）已知函数 .若区间 为“一致函数” 的“优美区间”，求 ， 的值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 或 . 20. （Ⅰ）计算求值： ； （Ⅱ）用数学归纳法证明： .（参考数值： ） 【答案】（Ⅰ）210；（Ⅱ）证明见解析. 21. 甲盒中装有3个红球和2个黄球，乙盒中装1红球和4个黄球. （Ⅰ）从甲盒有放回地摸球，每次摸出一个球，摸到红球记1分，摸到黄球记2分.某人摸球4次，求该人得分 的分布列以及数学期望 ； （Ⅱ）若同时从甲、乙两盒中各取出2个球进行交换，记交换后甲、乙两盒中红球的个数分别为 、 ，求数学期望 ， . 【答案】（Ⅰ）分布列见解析，5.6；（Ⅱ） ， . 22. 已知函数 . （Ⅰ）讨论函数 极值点的个数； （Ⅱ）若 ，且对任意正数 都有 成立，求实数 的取值范围.（ 为自然对数的底数）. 【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ） . 本试卷