4.1数列的概念-【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版2019选择性必修第二册）

【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版选修第二册） 第四章 数列 4.1数列的概念 一、单选题 1．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（ ） A．55 B．58 C．60 D．62 【答案】A 【解析】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈， ∴， 又∵; ; ; ; ; , 故选：A. 2．数列满足，，，，当T取最小值时，该数列的前2021项的和是（ ） A．673 B．674 C．1347 D．1348 【答案】D 【解析】若，则为常数列，故，此时，故舍去. 若，则，故，故或（舍）. 故，但，故舍去. 若，则，，， 若，则且， 整理得到，解得. 若，则且， 整理得到，无解. 又当时，有，，，，， 此时确为周期为3的周期数列. 该数列的前2021项的和为， 故选：D 3．已知数列中，，，则（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，， ∴，，，， 而，∴数列是以4为周期的周期数列， ∴. 故选：C. 4．已知数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，若m＞n，则Sm﹣Sn的最大值是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【解析】解：依题意，， 所以要使的值最大，则包含所有的正项， 令，得， 代入得. 故选：B． 5．已知数列{an}满足a1＝－，an＝1－ (n>1)，则a4等于（ ） A． B． C．－ D． 【答案】C 【解析】a2＝1－＝5，a3＝1－，a4＝1－. 故选：C． 6．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2，则an等于（ ） A．n B．n2 C．2n＋1 D．2n－1 【答案】D 【解析】∵Sn＝n2，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1． 当n＝1时，S1＝a1＝1适合上式，∴an＝2n－1． 故选：D 二、填空题 7．已知数列的前n项和公式，则其通项公式________. 【答案】. 【解析】由题意，数列{an}的前n项和公式 当时，， 又由当时，， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 8．已知下列数列： ①2 013，2 014，2 015，2 016，2 017，2 018，2019，2 020； ②1，，，…，，…； ③1，－，，…，，…； ④1，0，－1，…，sin，…； ⑤2，4，8，16，32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)． 【答案】①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ 【解析】①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，也是无穷数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列． 故答案为：①⑥，②③④⑤，①⑤，②，⑥，③④ 9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n·2n－1，则a3＋a4＋a5＝________. 【答案】152 【解析】a3＋a4＋a5＝S5－S2＝(5×25－1)－(2×22－1)＝152． 故答案为：152 三、解答题 10．已知数列的通项公式为，且，求和. 【答案】， 【解析】 代入通项公式中，得，即，解得：， ， 11．写出下面各数列的一个通项公式： （1）9，99，999，9 999，…； （2），2，，8，，…； 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，新数列的通项公式为， 可得原数列的一个通项公式为. （2）数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分数再观察：， 所以它的一个通项公式为. 12．（1）已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an； （2）设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an. 【答案】（1）an＝－ (n∈N*)；（2）an＝ (n∈N*)． 【解析】（1）∵an＋1－an＝， ∴a2－a1＝； a3－a2＝； a4－a3＝； … an－an－1＝. 以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋＝1－. ∴an＋1＝1－， ∴an＝－ (n≥2)． 又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式， ∴an＝－ (n∈N*)． （2）∵a1＝1，an＝an－1(n≥2