1.4空间向量的应用-【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版2019选择性必修第一册）

【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版选修第一册） 第一章 空间向量与立体几何 1.4空间向量的应用 一、单选题 1．在棱长为2的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，当平面与平面所成（锐）二面角的余弦值为时，经过三点的截面的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，所以， 设平面的一个法向量为，则 ，取，则， 平面的一个法向量为， 由题意得，解得或（舍去）， 延长，设，连接，交于，延长，交的延长线于，连接，交于，则五边形为截面图形， 由题意求得，，，，，，截面五边形如图所示， 则等腰三角形底边上的高为，等腰梯形的高为， 则截面面积为 故选：B 2．如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 取的中点为，连接 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面 所以平面 因为， 所以 如图建立空间直角坐标系，则 所以 所以异面直线与所成角的余弦值为 故选：A 3．在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，因为平面，平面， 所以，以为空间直角坐标系的原点，以所在的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，， ，，， 设平面的法向量为， 所以有， 设直线与平面所成角为， 所以， 故选：B 4．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，以为轴，为轴，平面内过垂直于的直线为建立空间直角坐标系， 则，，， ，，则， ，．，， ，所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选：A． 5．在直三棱柱中，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，不妨令，则，，，， 因此，， 所以， 故直线与直线夹角的余弦值为. 故选：A. 6．在正四棱锥中，侧棱，底面边长，是在平面内的射影，是的中点，则异面直线与所成角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正四棱锥定义可知：四边形为正方形，， 则，平面， 则以为原点，正方向为轴建立如图所示空间直角坐标系， ，，， ，，，， ，， ， 异面直线与所成角为. 故选：C. 二、填空题 7．如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为__________． 【答案】 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 直线与平面所成角为， ， 故答案为：. 8．如图在四棱锥中，平面，，，，，，E是直线上的一个动点，则与平面所成角的最大值为________． 【答案】. 【解析】依题意，以为原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，，，， ，因为，所以设， 设平面的一个法向量为， 由得，取，得， 设，则， 设与平面所成的角为，则 ， 又，所以，当即点与点重合时，与平面所成的角有最大值为. 故答案为：. 9．如图所示，ABCD-EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为________． 【答案】 【解析】解析：过P作PM⊥平面ABCD于M，过M作MN⊥AB于N，连接PN，则PN即为所求，如图所示． 因为， 所以， 所以. 即P点到直线AB的距离为. 故答案为：. 三、解答题 10．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上，，点为中点. （1）证明：直线平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】如图，以为原点，分别以方向为， z轴方向建立空间直角坐标系.由题意，可得， ， （1）显然，是平面的一个法向量， ，故，即. 又因为平面， 故直线//平面. （2）设平面的一个法向量为，由，有 即不妨取，可得. 由已知可得. 同理可求平面的一个法向量为. 所以，， 因此. 所以，二面角的正弦值为. 11．如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且． （1）若点F为上一点且，证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】（1）作交于，连接 又且 且 四边形为平行四边形 平面，平面 平面 （2）平面，平面 又， 则可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，， ，， 设平面的法向量 则，令，则， 设直线与平面所成角为 12．如图四棱锥的底面是正方形，，点在棱上，为与的交点． （