从三个角度理解机械能守恒定律的应用-《中学生数理化》高一 使用2021年6月刊

■袁兆强 在只有重力或弹力做功的物体系统内, 动能与势能可以互相转化,而总的机械能保 持不变,这是机械能守恒定律的内容。要想 深入理解机械能守恒定律的本质,以达到在 具体问题的求解中灵活运用的目的,就需要 从以下三个不同的角度着手了。 一、从守恒的角度理解 在满足机械能守恒条件的研究过程中, 任意两个状态下,研究对象的机械能必定相 等,即E2=E1。通常情况下,我们会选择一 个研究过程的始、末两个状态,根据机械能守 恒定律列式求解相关物理量。 注意:研究对象在始、末两状态下的机械 能相等,不说明研究对象在研究过程中的机 械能一定守恒,只有在研究过程中的任意状 态下,研究对象的机械能都保持恒定时,研究 对象的机械能才是守恒的。 例1 如图1所示,一小球用不可伸长的 轻绳悬于O 点,小球的质量为m,绳长为l, 在O 点正下方的B 点固定一颗钉子,O、B 两 点间的距离为d。初始时小球位于与O 点同 在一水平面上的 A 点,将其无初速度地释 放。为使小球能绕B 点做完整的圆周运动, 求d 的取值范围。 图1 设小球绕B 点做完整圆周 运动的轨迹半径为r,经过C 点 时的速度为v,根据牛顿第二定律和向心力 公式得mg≤m v2 r 。在小球从A 点运动到C 点的过程中,只有重力做功,机械能守恒。取 过C 点的水平面为零势能参考平面,根据机 械能守恒定律 E1=E2 得 mg(l-2r)= 1 2mv 2,解得r≤ 2 5l 。又有l=d+r,解得d= l-r≥ 3 5l 。因此为使小球能绕B 点做完整 的圆周运动,d 的取值范围为 3 5l≤d<l 。 运用守恒的观点根据机 械能守恒定律列式求解时,需 要选取合适的重力势能的零参考平面,并正 确表达研究对象在所选研究过程始、末两状 态下重力势能是正,是负,还是零。 二、从转化的角度理解 在满足机械能守恒条件的研究过程中, 研究对象动能的增加量等于势能(包括重力 势能和弹性势能)的减少量,或者研究对象动 能的减少量等于势能(包括重力势能和弹性 势能)的增加量,即ΔEk=-ΔEp。 例2 如图2所示是游乐场中过山车轨 道的一部分,固定在水平地面上的圆形轨道 BCD 与右侧弧状轨道AB 在B 点平滑连接, 与左侧弧状轨道 DE 在D 点平滑连接。已 知轨道AB 最高点A 到水平地面的竖直高度 h=6.6m,圆形轨道的直径d=1.6m,取重力 加速度g=10m/s2,忽略一切摩擦。过山车 从轨道AB 最高点A 无初速度出发,它到达 轨道BCD 最高点C 点时的速度为多大? 图2 在过山车沿轨道从 A 点运 动到C 点的过程中,只有重力做 功,机械 能 守 恒。根 据 机 械 能 守 恒 定 律 63 物理部分·经典题突破方法 高一使用 2021年6月 ΔEk=-ΔEp 得 1 2mv 2=mgh-mgd,解得 v=10m/s。 运用转化的观点根据机 械能守恒定律列式求解时,无 须选取重力势能的零参考平面,只要判断出 运动过程中研究对象势能的变化量与动能的 变化量即可,解题过程更加简单。 三、从转移的角度理解 在由两个或两个以上的物体组成的系统 内,在满足机械能守恒条件的研究过程中,系 统某部分的机械能减少了多少,其他部分的 机械能就增加了多少,即ΔE1=-ΔE2。 图3 例3 如图3所示, 在一光滑水平板的中央 有一个小孔,孔内穿过 一根光滑轻线,轻线的 一端系一质量为 M 的 小球A,另一端系着质 量分别为 m1 和 m2 的 物体B、C,B、C 两物体间由一小段轻线相 连。当小球 A 在光滑水平板上沿半径为R 的轨道做匀速圆周运动时,B、C 两物体都处 于静止状态。若将B、C 两物体之间的轻线 剪断,则小球A 的线速度为多大时才能再次 在水平板上做匀速圆周运动? 选小球 A 为研究对象,当 它在光滑水平板上沿半径为 R 的轨道做匀速圆周运动时,根据牛顿第二定 律和向心力公式得(m1+m2)g=M v20 R 。剪 断B、C 两物体之间的轻线后,假设物体B 上 升的高度为h,且当小球A 的线速度减小到 v时,小球A 在半径为R+h的轨道上再次做 匀速圆周运动。选小球A 为研究对象,根据 牛顿 第 二 定 律 和 向 心 力 公 式 得 m1g= M v2 R+h 。选由小球 A、物体B 组成的系统 为研究对象,根据机械能守恒定律 ΔE1= -ΔE2可知,小球A 减少的机械能等于物体 B 增加的机械能,即 1 2Mv 2 0- 1 2Mv 2=m1gh, 联立以上各式解得v= (3m1+m2)gR 3M 。 运用转移的观点根据机 械能守恒定律列式求解时,需 要合理选择满足机械能守恒条件的系统作为 研究对象,并正确判断系统内哪些物体的机 械