【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-一半模型-3星题（含解析）全国通用版

几何-直线型几何-一半模型-3星题 课程目标 知识点 考试要求 具体要求 考察频率 一半模型 B 1.了解典型的一半模型 2.能够灵活运用一半模型解决几何问题 少考 知识提要 一半模型 · 平行四边形的一半模型 · 梯形的一半模型 · 任意四边形一半模型 精选例题 一半模型 1. 长方形 的面积是 平方厘米，、、、 分别为 、、、 的中点；三角形 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    三角形 的面积是三角形 的 ，三角形 的面积是长方形 面积的 ，故三角形 的面积是长方形 面积的 ，三角形 的面积为 ． 2. 下图 是一个长方形，其中有三块面积分别为 、、，则图中阴影部分为  ． 【答案】     【分析】    如下图所示，设阴影部分面积为 ，其他未知部分的面积为 、、 和 ． 则 根据覆盖的方法，那么阴影部分 ． 3. 如图，四边形 是正方形， 和 都是长方形，点 在 上， 交 于点 ，若 ， 的面积是 ，则 的面积是  ． 【答案】     【分析】    根据一半模型， 所以 所以 4. 已知正方形的边长为 ，，，则  ． 【答案】     【分析】    如图，作 于 ， 于 ． 则四边形 分为 个直角三角形和中间的一个长方形，其中的 个直角三角形分别与四边形 周围的 个三角形相等，所以它们的面积和相等，而中间的小长方形的面积为 ，所以 ． 5. 如下图所示，梯形 的面积是 ， 是下底 上的一点， 是腰 的中点，并且甲、乙、丙三个三角形面积相等，则图中阴影部分的面积是  ． 【答案】     【分析】    因为三角形乙、丙的面积相等，且 ，所以三角形乙、丙的高相等， 于是 ，四边形 是平行四边形，易知 ， 因此，阴影部分的面积是 ． 6. 如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为 的正方形，则阴影部分四边形的面积是   ． 【答案】     【分析】    如图所示， 分别过阴影四边形 的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形 ，易知长方形 的面积为 从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的 倍，等于 、、、 四个长方形的面积之和，等于正方形 的面积加上长方形 的面积，为 所以四个空白三角形的面积之和为 那么阴影四边形 的面积为 7. 下图是边长为 厘米的正方形， 厘米、 是  厘米． 【答案】     【分析】    连接 ，由一半模型得三角形 的面积是正方形的一半，即为 ，所以 厘米． 8. 如图，长方形 中，，．、 分别是 边上的两点，．那么，三角形 面积的最小值是  ． 【答案】     【分析】    由于长方形 的面积是一定的，要使三角形 面积最小，就必须使 、、 的面积之和最大． 由于 、、 都是直角三角形，可以分别过 、 作 、 的平行线，可构成三个矩形 、 和 ，如图所示． 容易知道这三个矩形的面积之和等于 、、 的面积之和的 倍，而这三个矩形的面积之和又等于长方形 的面积加上长方形 的面积．所以为使 、、 的面积之和最大，只需使长方形 的面积最大． 长方形 的面积等于其长与宽的积，而其长 ，宽 ，由题知 ，根据”两个数的和一定，差越小，积越大”，所以当 与 的差为 ，即 与 相等时它们的积最大，此时长方形 的面积也最大，所以此时三角形 面积最小． 当 与 相等时，，此时三角形 的面积为：． 9. 将长 厘米、宽 厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连结，如下图所示，则阴影部分的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    连接辅助线如下图所示， 可知 ，，所以 ，，，所以 ，所以阴影部分是长方形面积的一半，为 ． 10. 已知四边形 是平行四边形，，三角形 的面积为 平方厘米．则阴影部分的面积是  平方厘米． 【答案】     平方厘米 【分析】     连接 ．由于 是平行四边形，，所以 根据梯形蝴蝶模型， 所以 又 阴影部分面积为 ． 11. 如图所示，， 分别是正方形 的边 和对角线 上的点，且 ，．如果正方形 的面积为 ，那么三角形 的面积是  ． 【答案】     【分析】    如图，连接 ． 正方形边长为 ，，， 那么 12. 正方形 的面积为 平方厘米，正方形 的面积为 平方厘米．如图所示，边 落在 上．已知三角形 的面积为 平方厘米，则三角形 的面积为  平方厘米． 【答案】     【分析】     连接 ， 是正方形 的对角线，； 是正方形 的对角线，．，可以知道 ． 所以 与 面积相等，都是 平方厘米，那么 的面积是： 13. 一个长方形分成 个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的 倍，黄色三角形的面积是 平方厘米．问：长方形的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    由于黄色三角形和绿色三角形面积总和是长方形面积的 倍，所以黄色三角形面积是长方形面积的 倍，所以长方形的面积是 14. 如图，若 平方米， 平方米，则   平方米． 【答案】     【分析】    观察发现， 所以 15. 如图，正方形的边长为 ，四边形 的面积为 ，那么阴影部分的面积是  ． 【答案】     【分析】     如图，设 边上的两个点分别为 、．连接 ．根据等积变形， 与 的面积是相等的，那么 与 的面积之和等于 与 的面积之和，即等于 的面积．而 的面积为正方形 面积的一半，为 ，又 与 的面积之和与阴影部分的面积相比，多了 个四边形 的面积，所以阴影部分的面积为：． 16. 如图所示，矩形 的面积为 平方厘米，四边形 的面积是 平方厘米，则阴影部分的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    因为三角形 面积为矩形 的面积的一半，即 平方厘米，三角形 面积为矩形 的面积的 ，即 平方厘米，又四边形 的面积为 平方厘米，所以三角形 与三角形 的面积之和是 ． 又三角形 与三角形 的面积之和是矩形 的面积的一半，即 平方厘米，所以阴影部分面积为 ． 17. 如下图所示，过平行四边形 内的一点 作边的平行线 、．若 的面积为 ，求平行四边形 的面积比平行四边形 的面积大  ． 【答案】     【分析】    根据差不变原理，要求平行四边形 的面积与平行四边形 的面积差，相当于求平行四边形 的面积与平行四边形 的面积差． 如下图所示，连接 、．根据一半模型． 由于 所以 而 所以 即平行四边形 的面积比平行四边形 的面积大 ． 18. 如图，正方形 的边长为 ，，．长方形 的面积为  ． 【答案】     【分析】     连接 ，，由一半模型得，长方形 的面积是三角形 面积的两倍．又 所以长方形 面积为 ． 19. 如图，三角形 的面积为 平方厘米，、、 分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为 与 的面积之差，又可以转化为 与 的面积之差． （法一）如图，连接 ． 由于 、、 分别为各边的中点，那么 为平行四边形，且面积为三角形 面积的一半，即 平方厘米；那么 的面积为平行四边形 面积的一半，为 平方厘米． 根据几何五大模型中的相似模型，由于 为三角形 的中位线，长度为 的一半，则 所以 所以 那么 的面积占 面积的 ，所以阴影部分面积为 （法二）如图，连接 ． 根据燕尾定理， 所以 而 所以 那么阴影部分面积为 【总结】求三角形的面积，一般有三种方法： （1）利用面积公式：； （2）利用整体减去部分； （3）利用比例和模型． 20. 如图，正方形 的边长为 ，，．长方形 的面积为  ． 【答案】    ． 【分析】    连接 ，．在正方形 中， 在长方形 中， 因为 所以 所以 21. 如下图所示，在梯形 中，、 分别是其两腰 、 的中点， 是 上的任意一点，已知 的面积为 ，而 的面积恰好是梯形 面积的 ，则梯形 的面积是   ． 【答案】     【分析】    如果可以求出 与 的面积之和与梯形 面积的比，那么就可以知道 的面积占梯形 面积的多少，从而可以求出梯形 的面积． 如图，连接 、．则 ，，于是 要求 与梯形 的面积之比，可以把梯形 绕 点旋转 ，变成一个平行四边形．如下图所示： 从中容易看出 的面积为梯形 的面积的一半． 也可以根据 得来． 那么，根据题意可知 的面积占梯形 面积的 ，所以梯形 的面积是 小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半，这是一个很有用的结论．本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设 与 重合，则 的面积占梯形面积的一半，那么 与 合起来占一半． 22. 如图，正方形的边长为 ，阴影部分的面积为 ，那么四边形 的面积是  ． 【答案】     【分析】    如图所示，设 上的两个点分别为 、．连接 ． 根据面积比例模型， 与 的面积是相等的，那么 与 的面积之和，等于 与 的面积之和，即等于 的面积．而 的面积为正方形 面积的一半，为 ． 又 与 的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了 个四边形 的面积，所以四边形 的面积为：． 23. 如图，正方形 的边 上有一点 ，边 上有一点 ， 是 的中点， 是 的中点，如果正方形的边长是 ，那么阴影部分的面积是  ． 【答案】     【分析】     24. 如图，四边形 中，，，，已知四边形 的面积等于 ，则四边形 的面积  ． 【答案】     【分析】    运用三角形面积与底和高的关系解题． 连接 、、、， 因为 所以， 在 中， 在 中， 在 中， 在 中， 因为 所以 又因为 所以 25. 如图，正方形 的边长为 ，，．长方形 的面积为  ． 【答案】     【分析】    连接 ，，则长方形 的面积是三角形 面积的二倍． 三角形 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积， 所以长方形 面积为 ． 26. 是边长为 的正方形，如图所示， 是内部任意一点，、，那么阴影部分的面积是  ． 【答案】     【分析】    （方法一）特殊点法．由于 是内部任意一点，不妨设 点与 点重合（如下图），那么阴影部分就是 和 ．而 的面积为 ， 的面积为 ，所以阴影部分的面积为 ． （方法二）寻找可以利用的条件，连接 、、、 可得下图所示： 则有： 同理可得： 而 即 同理： 所以： 而 所以阴影部分的面积是： 即为： 27. 图中由 个边长是 的正方形组成，则图中阴影部分的面积是  ． 【答案】     【分析】    等积变形如下： 阴影部分面积： 28. 校园里有一块长方形的地，长 米，宽 米．想种上红花、黄花和绿草．一种设计方案如下图，（除长方形四个顶点外，其余各点均为各边中点）那么其中红花的面积是   平方米． 【答案】     【分析】    图中 ，而且 ，所以，（平方米）． 29. 下图中， 是平行四边形， 为 的中点， 和 的交点为 ， 和 的交点为 ， 和 的交点为 ，四边形 的面积是 平方厘米，则 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    解法一：蝴蝶模型与一半模型． （1） 是 的中点，，所以 （2）设平行四边形面积为“”． 是 的中点，所以 、、 占平行四边形面积的 ，梯形 占平行四边形面积的 ； （3）所以 同理可知 ． （4）根据一半模型，， （5） 的面积是 解法二：相似模型、等积变形与一半模型． （1） 是 的中点，，所以 ，而 ， （2）设平行四边形面积为“”． 是 的中点，所以 、 占平行四边形面积的 ，所以 同理可知 ． （3）根据一半模型，， （4） 的面积是 解法三：燕尾模型与一半模型． （1）设平行四边形面积为“”．． （2） 是 的中点， 为 的中点，连接 ， 设 为 份， 也为 份，根据燕尾 为 份，再根据燕尾 也为 份，根据按比例分配，、 都为 份，所以 同理可知 ． （3）根据一半模型，， （4） 的面积是 解法四：风筝模型与一半模型． 连接 同样可解． 30. 如下图所示长方形 由上、中、下三个小长方形组成，已知 ，三角形 的面积为 ，四边形 的面积为 ，求四边形 的面积． 【答案】     【分析】    因为 ，所以长方形 的面积等于长方形 面积的一半，即 ，又 ，所以 ，故四边形 的面积是 ． 31. 如下图所示，点 及点 在正方形 之内部，若 与 的面积比为 ， 与 的面积比为 ， 与 的面积比为 ，并且 与 的面积比为 ．请问四边形 的面积（阴影部分）与正方形 的面积比是多少？ 【答案】     【分析】    根据一半模型， 与 的面积和为正方形面积的一半， 与 的面积和为正方形面积的一半， 与 的面积和为正方形面积的一半， 与 的面积和也为正方形面积的一半， 那么 的面积占整个图形的 ， 的面积占整个图形的 ， 的面积占整个图形的 ， 的面积占整个图形的 ，那么阴影部分占正方形面积的 ． 32. 如图所示， 为长方形 内的一点．三角形 的面积为 ，三角形 的面积为 请问：三角形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    图 阴影部分的面积是整个长方形的一半，而图 阴影部分的面积也是整个长方形的一半，两个阴影部分有一块公共部分，那就是 ．去掉这块公共部分之后，剩下的阴影部分仍然应该相等，因此就有 ．由题意，，，所以 ． 33. 如下图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是 ，，．那么图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】     【分析】     又因为 所以可得： 34. 如图，将平行四边形 的边 延长一倍至点 ，已知三角形 的面积是 平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    连接 ．因为 ，且 ，所以四边形 是平行四边形．推知 ，因为 ，所以 ，可得 ．那么阴影部分的面积是 平方厘米． 35. 如图所示，正方形 的边长为 厘米，长方形 的长 为 厘米，那么长方形的宽为几厘米？ 【答案】     厘米 【分析】    连结 ，由一半模型得，长方形 的面积是三角形 面积的两倍，正方形 的面积，所以长方形 的面积和正方形 的面积相等，正方形 的面积为 ，所以长方形的宽为 ． 36. 一个长方形分成 个不同的三角形，已知黄色的三角形面积是 平方厘米，绿色三角形的面积占长方形面积的 ，那么长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    由一半模型知： 所以绿占长方形面积的： 所以长方形的面积为： 37. 如图，长方形 的面积是 平方厘米，梯形 的顶点 在 上， 是腰 的中点．试求梯形 的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    连接 ，三角形 的面积是长方形面积的一半，三角形 的面积也是梯形的面积的一半，所以梯形的面积是 ． 38. 在梯形 中， 平方厘米，．求梯形 的面积． 【答案】     平方厘米 【分析】    在平行四边形 中：，根据一半模型，，，所以梯形 的面积是 ． 39. 如图，四边形 中，，，，，已知四边形 的面积等于 ，则四边形 的面积  ． 【答案】    ． 【分析】    首先连接 、、，由已知条件看出 、 分别为 和 的中点，那么根据所学的一半模型，四边形 的面积占四边形 面积的一半，也就是面积为 ．接下来连结 ，又可看出 面积是 的 倍，以及 面积是 的 倍，所以推出四边形 的面积是 ． 40. 如图，已知平行四边形 的面积为 ，三角形 的面积为 ．三角形 的面积为多少？ 【答案】    ． 【分析】    由基本一半模型知：三角形 的面积为 ． 41. 如图，有一个长 ，宽 的长方形 ．在各边上取点 ，再连接 的线上取点 ，与点 和点 相连．当四边形 的面积是 时，求四边形 的面积． 【答案】    ． 【分析】    连结 ，题目中的线段长度如右图所示．所求四边形的面积可以化为三角形 与 的面积和．易见中间的四边形 是平行四边形． 根据一半模型， 那么 所以 因此四边形 的面积是 42. 如图所示，长为 厘米、宽为 厘米的长方形 中有一点 ，连接 、、 和 ，左边阴影 的面积是 平方厘米，则右边的面积是多少？ 【答案】     【分析】    左右面积之和同样也是一半，即为 左边面积是 ，那么右边面积是 ． 43. 如图，大长方形由面积是 平方厘米、 平方厘米、 平方厘米、 平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    如图， 将大长方形的长的长度设为 ，则 ，，所以 ，阴影部分面积为 ． 44. 平行四边形内有一个点 ，连接这个点和平行四边形的四个顶点，把平行四边形分成几块，各块的面积如图所示，那么阴影部分的面积应该是多少？ 【答案】     【分析】    平行四边形中也有一半模型． 就是阴影的面积． 45. 如下图，正方形 的面积是 ，正三角形 的面积是 ，求阴影 的面积． 【答案】     【分析】    连接 交 于 点，并连接 ． 如上图所示，可得 ，所以 与 面积相等（同底等高），所以有： 因为 所以 46. —个矩形分成 个不同的三角形（如下图），绿色三角形面积占矩形面积的 ，黄色三角形的面积是 平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米 【分析】    黄色三角形与绿色角形面积之和是矩形面积的 ，而绿色三角形面积占矩形 面积的 ，所以黄色三角形面积占矩形面积的 ，已知黄色三角形面积是 平方厘米，所以矩形面积等于 ． 47. 如图所示，在平行四边形 中， 为 的中点，，三角形 （图中阴影部分）的面积为 平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    连接 ．三角形 面积是三角形 面积的 倍，而三角形 面积是三角形 面积的 倍，所以三角形 面积是三角形 面积的 倍；又因为平行四边形的面积是三角形 面积的 倍，所以平行四边形的面积是三角形 面积的 倍．因此，平行四边形的面积为 （平方厘米）． 48. 如图， 是梯形， 是平行四边形， 是正方形， 是长方形．又知 厘米， 厘米，那么，阴影部分的总面积是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米 【分析】    因为 是平行四边形，所以 ，那么 ．又 是正方形，所以 ．三角形 的面积是 ．因为三角形 在平行四边形 ，长方形 中都是一半，因此阴影部分面积为 ． 49. 如下图，、 分别是梯形 的下底 和腰 上的点，，并且甲、乙、丙 个三角形面积相等．已知梯形 的面积是 平方厘米．求图中阴影部分的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    因为三角形 和三角形 的面积相等，，则 到 的距与 到 的距离相等，所以四边形 是平行四边形，那么阴影部分的面积是平行四边形 的面积的一半，设三角形 的面积为 份，则平行四边形 的面积为 份，梯形 的面积为 份，阴影部分的面积为 ． 50. 如图， 和 都是平行四边形，四边形 面积为 平方厘米．请问：阴影部分面积是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米． 【分析】    双层犬牙模型，可以把 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是 面积的一半； 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是 面积的一半．所以阴影部分的面积是平行四边形 面积的一半，即 平方厘米． 51. 如图所示，、、、 是四边形 的 、 边上的三等分点，四边形 的面积为 平方厘米，那么四边形 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    首先连接 、、，如下图所示： 可以看出，三角形 的面积是三角形 面积的 倍，三角形 的面积是三角形 的面积的 倍，所以三角形 与三角形 的面积和是 平方厘米，那么四边形 的面积是 平方厘米．再利用不规则四边形中的一半模型可得， 的面积是 的一半，也就是 平方厘米． 52. 如图所示，四边形 与 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等． 【答案】    见解析． 【分析】    本题主要是运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接 ． 因为在平行四边形 中， 所以 同理， 所以平行四边形 与 面积相等． 53. 如图，正方形 的边长为 ，，．长方形 的面积为  ． 【答案】     【分析】    连接 ，，正方形 的面积为 ，三角形 的面积为 三角形 的面积为 三角形 的面积为 则三角形 的面积为 长方形 的面积为 54. 如图所示，一个长方形被分成若干部分，其中三块的面积是 、、，那么阴影部分的面积是多少？ 【答案】     【分析】    根据一半模型知， 所以阴影面积是 55. 如图， 是一个长方形， 点在 延长线上．已知 ，，且三角形 的面积等于 ，那么三角形 的面积等于多少？ 【答案】     【分析】    ，所以 即 ，，即 56. 如图，长方形被其内的一些直线划分成了若干块，已知边上有 块面积分别是 ，，．那么图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】     【分析】    如下图所示，为了方便叙述，将部分区域标上序号，设阴影部分面积为“阴”： 比较上面两个式子可得阴影部分的面积为 ． 57. 图中 是梯形，三角形 面积是 ，三角形 的面积是 ，三角形 的面积是 ．那么阴影部分面积是多少？ 【答案】     【分析】    设 的面积为“上”， 的面积为“下”， 的面积为“左”， 的面积为“右”． ；，而 ，所以 ． 的面积为 ，那么 的面积为 ，则 与 的面积比也为 与 的比，所以有\[ {S}_{\vartriangle {{ACE }}} =0.4\times{S}_{\vartriangle {{ACD}}} $ =0.4\times(3+9)=4.8. \] 即阴影部分面积为 ． 58. 如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为 与 ，已知梯形的上底长是下底长的 ．那么余下阴影部分的面积是多少？ 【答案】     【分析】    不妨设上底长 ，那么下底长 ，则上面部分的三角形的高为 ，下面部分的三角形的高为 ，则梯形的高为 ． 所以梯形的面积为 所以余下阴影部分的面积为 59. 如下图所示，在平行四边形 中，已知三角形 、 的面积分别是 、，求三角形 的面积． 【答案】     【分析】    根据平行四边形的一半模型可知，，所以有 ，那么三角形 的面积等于 ． 60. 一张面积为 平方厘米的平行四边形纸片 放在另一张平行四边形纸片 上面，如下图所示，得出 、、、 四个交点，并且 ，．问纸片 的面积是多少平方厘米？说明理由． 【答案】     【分析】    连接 、、、 如下图所示，因为 ，所以 的面积是平行四边形 面积的一半， 的面积是平行四边形 的面积的一半，因此四边形 的面积是平行四边形 面积的一半． 同理可证，四边形 的面积也是平行四边形 面积的一半． 因此，平行四边形 的面积 平行四边形 的面积 平方厘米． 61. 是长方形 内一点，已知 的面积是 ， 的面积是 ，求 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    由于 是长方形，所以 ，而 ，所以 ，则 ，所以 ． 62. 如图，正六边形 的面积为 ，那么阴影部分的面积是多少？ 【答案】     【分析】     把三角形 移到三角形 的位置，则长方形 面积为六边形面积一半，阴影面积又为此长方形面积一半，因此为 63. 如下图，过平行四边形 内的一点 作边的平行线 、，若 的面积为 平方分米，求平行四边形 的面积比平行四边形 的面积大多少平方分米？ 【答案】     【分析】    根据差不变原理，要求平行四边形 的面积与平行四边形 的面积差，相当于求平行四边形 的面积与平行四边形 的面积差． 如下图，连接 、． 由于 ，所以 ． 而 ，，所以 ． 64. 如图，在三角形 中， 厘米， 边对应的高是 厘米，、 分别为 和 的中点，那么三角形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    ，因为 是中点，所以 因为 是中点，所以 65. 在长方形 内部有一点 ，形成等腰 的面积为 ，等腰 的面积占长方形面积的 ，那么阴影 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    先算出长方形面积，再用其一半减去 的面积（长方形面积的 ），再减去 的面积，即可求出 的面积． 根据模型可知 所以 又 与 的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以 的面积等于长方形面积的 ， 所以 66. 如图，正六边形的面积为 ， 是其内任意一点，求 和 的面积之和． 【答案】     【分析】    由一半模型，两个三角形面积和等于四边形 面积的一半，而这个四边形的面积又是六边形面积的 ，所以所求面积和就是正六边形面积的 ，为 ． 67. 如图，长方形 的面积为 ，那么平行四边形 的面积为多少？ 【答案】    ． 【分析】    三角形 的面积为长方形的一半，同时也是平行四边形的一半，所以平行四边形面积等于长方形的面积． 68. 如图，正方形 的边长是 厘米， 厘米，矩形 的长 为 厘米，求它的宽 等于多少厘米？ 【答案】    ． 【分析】     连接 ，在正方形 中， 在长方形 中， 所以 69. 有一个边长为 厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点构成第三个正方形，第四个正方形．求图中阴影部分的面积？ 【答案】     【分析】    如下图左所示， 阴 ① ． 如下图中所示，此时斜放的正方形面积为 ， 阴 ②． 如图右所示，此时外面正方形面积为 ，图中 所以，图中阴影部分总面积为： 70. 如图，正方形 的边长是 厘米，矩形 的长 厘米，求它的宽 ＝  厘米． 【答案】     【分析】    连接 ，正方形的面积为 的面积既是正方形面积的一半，也是长方形面积的一半．所以，长方形的面积也为 ，所以， 71. 下图中的大正方形 的面积是 ，其他点都是它所在的边的中点．请问：阴影三角形的面积是多少？ 【答案】     【分析】    图中有大、中、小三个正方形，每个面积是前一个的 ，所以小正方形面积是 ，将小正方形各顶点标上字母，如下图所示，很容易看出 $\triangle JFG\text{面积}=\triangle IHG\text{面积}=\dfrac 1 4\times \text{正方形$ EFGH $面积}$，$\triangle EJI\text{面积}=\dfrac 1 4\times \triangle EFH\text{面积}=\dfrac 1 8\times \text{正方形$ EFGH $面积}$．所以阴影 ． 72. 如图，四边形 中，，，，，已知四边形 的面积等于 ，则四边形 的面积  ． 【答案】     【分析】    首先连接 、、，由已知条件看出 、 分别为 和 的中点，那么根据所学的一半模型，四边形 的面积占 的一半，也就是面积为 ．接下来连结 ，又可看出 面积是 的 倍，以及 面积是 的 倍，所以推出四边形 的面积是 ． 73. 如图所示，长方形 的长是 厘米，宽是 厘米，三角形 的面积是 平方厘米，则  厘米． 【答案】     【分析】    由于 与 平行，因此 而 所以 故 74. 如图， 长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为 ， 的长是 ， 的长是 ．那么四边形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    因为连接 知道 和 的面积相等即为 ，又因为 ，所以 的面积为 根据四边形的对角线性质知道： 的面积为： 所以四边形 的面积为： 75. 如图所示，四边形 是平行四边形，面积是 平方厘米，、 分别为边 、 的中点，请问：阴影部分的面积为多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    因为 为边 的中点，四边形 是平行四边形，所以 ，且 ． 在沙漏 中，有 ，． 由 可知， 的面积为 面积的 ． 易知 面积为平行四边形 的面积的 ，即 所以 的面积为 由 为边 的中点，同理可求出 的面积为 平方厘米． 由 ， 可知，、 为边 的三等分点． 所以 而 ，所以 于是空白部分面积为 ． 因此阴影部分的面积为 ． 76. 如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为 厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    如图所示，分别过阴影四边形 的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形 ，易知长方形 的面积为 平方厘米． 从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的 倍，等于 、、、 四个长方形的面积之和，等于正方形 的面积加上长方形 的面积，为 平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为 平方厘米，那么阴影四边形 的面积为 平方厘米． 77. 如图所示， 是长方形 一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积 和 ，那么阴影直角三角形的面积是多少？ 【答案】     【分析】    由 可知 ．而 与 从 出发的高相同，则 ． 由于 ，把线段的比例转移到 上，则有 ，从而得到 ，所以阴影 的面积是 面积的 ．于是阴影三角形的面积是 78. 正方形内，有两点，图中圆圈表示所在的小三角形，已知 ① 的面积是 ，② 的面积是 ，③ 的面积是 ，问 ④ 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    ① 与 ② 的面积之和加上左右边上两个的面积是正方形面积的一半，③ 和 ④ 的面积之和加上左右边上两个的面积是正方形面积的一半，所以 也就是 ④ 的面积是 ． 79. 如图如果长方形的面积为 平方厘米，且 厘米、 厘米、 厘米、 厘米，那么请你求出四边形 的面积是多少厘米？ 【答案】     【分析】    如图所示过点 、、、 分别作长方形各边的平行线，易知交成四个矩形和中间的正方形，中间的正方形边长为 厘米，面积为 平方厘米，且四个矩形中阴影部分的面积占一半为： 则四边形 的面积是： 80. 如图， 为长方形 内的一点． 的面积为 ， 的面积为 ．请问： 的面积是多少？ 【答案】    8 【分析】    ，由一半模型，，所以 ，． 81. 如图是由 个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形（阴影部分）的周长是 ，那么最大的正方形的边长是多少？ 【答案】     厘米 【分析】    最小正方形的面积是 最大的正方形的面积是 那么最大的正方形的边长是 厘米． 82. 下图中， 和 是两个正方形， 和 相交于 ，已知 等于 的三分之一，三角形 的面积等于 平方厘米，求五边形 的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    连接 、，由于 与 平行，可知四边形 构成一个梯形． 由于 面积为 平方厘米，且 等于 的三分之一，所以 等于 的 ，根据梯形蝴蝶定理，可知 的面积为 平方厘米， 的面积为 平方厘米， 的面积为 平方厘米． 那么正方形 的面积为 所以其边长为 厘米． 又 的面积为 所以 即正方形 的边长为 厘米．那么，五边形 的面积为： 83. 如下图， 和 都是矩形， 的长是 厘米， 的长是 厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    图中阴影部分的面积等于长方形面积的一半，即 84. 如图， 为正方形， 且 ，请问四边形 的面积为多少？ 【答案】     【分析】    （法 ）由 ，有 所以 又 所以 所以 所以 占 的 ，得到 （法 ）如图， 连结 ，则 而 所以 而 因为 所以 则 阴影部分面积等于 85. 如图，长方形 内的阴影部分的面积之和为 ，，，那么四边形 的面积是多少？ 【答案】    ． 【分析】    梯形 中，阴影 与 面积相等，所以阴影总面积可以转化为 与四边形 ，其中 面积为长方形一半 ，所以四边形 面积为 ． 86. 一个长方形分成 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的 ，黄色三角形面积是 ．问：长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】    ． 【分析】    由一半模型知：黄+绿=长方形的面积一半，所以绿占长方形面积的：，所以长方形的面积为：（平方厘米）． 87. 如图所示，、 将长方形 分成 块， 的面积是 平方厘米， 的面积是 平方厘米．问：四边形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     厘米 【分析】     连接 ，根据梯形模型，可知三角形 的面积和三角形 的面积相等，即其面积也是 平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形 的面积为 所以长方形的面积为 四边形 的面积为 88. 长方形 的面积为 ，、、 为各边中点， 为 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 【答案】     【分析】    解法一：寻找可利用的条件，连接 、，如下图： 可得：、、，而 ． 即 而 ， 所以阴影部分的面积是：． 解法二：特殊点法．找 的特殊点，把 点与 点重合， 那么图形就可变成下图： 这样阴影部分的面积就是 的面积，根据鸟头定理，则有： 89. 长方形的面积为 ， 为各边中点， 为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 【答案】     【分析】     为边上任意一点，所以可以把 点看成 的中点，所以三角形 的面积为四边形 面积的一半，三角形 面积等于三角形 的面积，所以阴影面积为四边形 面积减去三角形 的面积，又因为 、 为 、 中点，所以三角形 的面积为 ，所以阴影部分面积为 ． 90. 如图所示，一个长方形被分成 个不同的三角形，红色三角形的面积是 平方厘米，黄色三角形的面积是 平方厘米，绿色三角形的面积是 平方厘米．那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米． 【分析】    红蓝面积之和等于黄绿面积之和，都是长方形的一半．所以蓝色面积为 平方厘米． 91. 在图中，正方形 和正方形 底边对齐，两个正方形边长分别为 和 ．三角形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    连接 ，则三角形 的面积与三角形 的面积相等．则图中阴影部分的面积为正方形 面积的一半，为 ． 92. 如图，三角形 的面积是 ，、 的长度分别为 、．求长方形 的面积． 【答案】     【分析】    如图，过 作 ，过 作 ，、 交于 ，连接 ． 则 另解：设三角形 、、 的面积之和为 ，则正方形 的面积为 ．从图中可以看出，三角形 、、 的面积之和的 倍，等于正方形 的面积与长方形 的面积之和，即 ，得 ，所以正方形 的面积为 ． 93. 如图所示，、 将长方形 分成 块，三角形 的面积 平方厘米，三角形 的面积是 平方厘米．问：四边形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    连接 ， 由于 与 平行的，所以四边形 是梯形， 根据蝴蝶模型， 代入已知部分，可得 ， 94. 如图，把大、小两个正方形拼在一起，它们的边长分别是 厘米和 厘米，那么图中阴影部分的面积分别是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米 【分析】    利用等积变形，阴影部分面积为小正方形面积的一半， 95. 图中有 个正方形，较小的正方形都由较大的正方形的 边中点连接而成．已知最大的正方形的边长为 厘米，那么最小的正方形的面积等于多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    我们先来寻求图形面积变化的规律．观察右图，连接大正方形对边中点，则把大正方形分成了 个小正方形，每个小正方形被边 、、、 分成了面积相等的三角形．由此可知： 由此可以推出：相邻两个正方形，每个较小正方形的面积是较大正方形面积的一半，因此，最小正方形的面积为： 96. 长方形 中，对角线交于 点， 是 上一点，连接 、．如图得到三块阴影，已知阴影的面积之和是 平方厘米，长方形的长是 厘米，宽是 厘米．求四边形 的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    由平行线定理或者梯形的蝴蝶定理，三角形 的面积就等于 的面积． 这样阴影面积之和就变成了 和四边形 的面积之和． 前者面积是 后者面积是 即为所求． 97. 长方形 的面积为 ，、、 为各边中点， 为 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 【答案】     【分析】    （法 ）特殊点法．由于 为 边上任意一点，找 的特殊点，把 点与 点重合（如下图），那么阴影部分的面积就是 与 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形 面积的 和 ，所以阴影部分面积为长方形 面积的 ，为 ． （法 ）寻找可利用的条件，连接 、，如下图． 可得：、、，而 ，即 而 ， 所以阴影部分的面积是：． 98. 如下图，长方形 和长方形 拼成了长方形 ，长方形 的长是 ，宽是 ，则它内部阴影部分的面积是  ． 【答案】     【分析】    ． 99. 如图所示，梯形 是由正方形 和等腰直角三角形 构成．已知等腰直角三角形的斜边是 厘米，那么 面积是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米． 【分析】    根据等腰直角三角形的斜边，可以知道等腰直角三角形和正方形的面积分别是 平方厘米和 平方厘米． 方法一： 的面积是正方形面积的一半，所以 的面积是 平方厘米； 方法二：连结 ， 和等腰直角三角形是同高等底的两个三角形，所以面积相等，则 的面积也是 平方厘米． 100. 如下图，正方形 的面积是 ，正三角形 的面积是 ，求阴影 的面积． 【答案】     【分析】    连接 交 于 点，并连接 ． 如上图所示，可得 ，所以 与 面积相等（同底等高），所以有： 因为 所以 101. 如图，、、、 分别是四边形 各边的中点， 与 交于点 ，、、 及 分别表示四个小四边形的面积．试比较 与 的大小． 【答案】    相等． 【分析】    如下图，连接 、、、， 则可判断出，每条边与 点所构成的三角形都被分为面积相等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于 、 这两个不同的组合，所以可知 ． 102. 如图， 是一个直角梯形．以 为边长向外做一个长方形 ，其面积是 平方厘米，连结 交 于 ，再连接 ，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米 【分析】    连结 ，如下图．因为 ，所以 ，所以阴影部分的面积等于 ，再根据 ，所以阴影的面积就是长方形 面积的一半，即 ． 103. 如图，已知长方形 的面积 ，三角形 的面积是 ，三角形 的面积是 ，那么三角形 的面积是多少？ 【答案】     【分析】     如图，连接 ，连接对角线 ．由于四边形 是长方形，则 ，因此 ，所以 是 边的中点． 又因为四边形 是梯形，则 ． 104. 如图，已知正方形 的边长为 厘米， 为 中点， 为 中点， 为 中点，求三角形 的面积． 【答案】     平方厘米． 【分析】    设 与 的交点为 ，连接 、． 由蝴蝶定理可知 而 所以 故 由于 为 中点，所以 故 由蝴蝶定理可知 所以 那么 105. 一个边长为 厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形．求第五个正方形的面积？ 【答案】     平方厘米 【分析】    第一个正方形的面积是 第二个正方形的面积如图，实际上是第一个正方形面积的一半．依次类推，第五个正方形的面积为： 106. 如图，三角形 的面积是 平方厘米，长方形 的长是 厘米，宽是 厘米， 是 的中点，则三角形 的面积是  平方厘米． 【答案】     【分析】    本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线． 取 的中点 ，连接 ，设 交 于 ． 则三角形 被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边 ，可知三角形 的面积等于 所以 那么 因为 是三角形 的中位线，所以 所以三角形 的面积为 107. 如图， 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为 和 ，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？ 【答案】     【分析】    连接 ， 由已知可得 所以 可以得到 由三角形相似可得阴影部分面积为 108. 如图所示，图中最大的长方形面积是 ，最小的长方形面积是 ，求阴影部分的面积． 【答案】     【分析】    最大的长方形面积与最小的长方形面积之差为 剩下部分空白面积与阴影面积相等，因此图中空白面积为 阴影部分总面积为 109. 如图，长方形 被 、 分成四块，已知其中 块的面积分别为 、、 平方厘米，那么余下的四边形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    连接 、． 四边形 为梯形，所以 又根据蝴蝶模型， 所以 所以 ，．那么长方形 的面积为 平方厘米，四边形 的面积为 110. 如图所示，已知三角形 的面积等于 平方厘米， 是 边上靠近 点的四等分点．三角形 的面积是多少平方厘米？平行四边形 的面积是多少平方厘米？ 【答案】     平方厘米； 平方厘米 【分析】    连接 ，由于三角形 的面积是 平方厘米，而 ，所以三角形 的面积是 平方厘米，则三角形 的面积是 平方厘米，则平行四边形 的面积是 平方厘米． 111. 正方形内，有两点，图中圆圈表示所在的小三角形，已知 ① 的面积是 ，② 的面积是 平方厘米，③ 的面积是 ，问 ④ 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    ① 与 ② 的面积之和加上左右边上两个的面积是正方形面积的一半， ③ 和 ④ 的面积之和加上左右边上两个的面积是正方形面积的一半， 所以 也就是 ④ 的面积是 ． 112. 如图所示，长方形 内的阴影部分的面积之和为 ，，，四边形 的面积为  ． 【答案】     【分析】    从整体上来看，，而 为长方形面积的一半，即 ，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即 ，所以四边形的面积为 ． 113. 如图， 是等腰直角三角形， 是正方形，线段 与 相交于 点．已知正方形 的面积 ，，则 的面积是多少？ 【答案】     【分析】    由于 是正方形，所以 与 平行，那么四边形 是梯形．在梯形 中， 和 的面积是相等的．而 ，所以 的面积是 面积的 ，那么 的面积也是 面积的 ． 由于 是等腰直角三角形，如果过 作 的垂线， 为垂足，那么 是 的中点，而且 ，可见 和 的面积都等于正方形 面积的一半，所以 的面积与正方形 的面积相等，为 ．那么 的面积为 ． 114. 已知三角形 中，，三角形 的面积为 平方厘米， 厘米，求高 的长是多少厘米？ 【答案】     【分析】    因为三角形 的面积 平方厘米，同时三角形 的面积 ，所以 （厘米）． 115. 如图，长方形 的边上有两点 、，线段 、、、 把长方形分成若干块，其中三个小木块的面积标注在图上，阴影部分面积是多少平方米？ 【答案】     【分析】    运用等积变换， 因此，阴影面积为 116. 如图， 是梯形 的一条对角线，线段 与 平行， 与 相交于 点．已知三角形 的面积比三角形 的面积大 平方米，并且 ．求梯形 的面积． 【答案】     平方米． 【分析】    连接 ． 根据差不变原理可知三角形 的面积比三角形 大 平方米，而三角形 与三角形 面积相等，因此也与三角形 面积相等，从而三角形 的面积比三角形 的大 平方米．但 ，所以三角形 的面积是三角形 的 ，从而三角形 的面积是 ，梯形 的面积为：． 117. 如图，正方形 的边长是 厘米，矩形 的长 厘米，求它的宽  ． 【答案】     厘米． 【分析】    连接 ，正方形 的面积 ，则长方形 的面积为 平方厘米，宽 ． 118. 如图，四边形 是梯形，四边形 是平行四边形，四边形 是正方形，四边形 是长方形．又知 厘米， 厘米，那么，阴影部分的总面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    阴影部分的面积与三角形 的面积相等， 119. 图中的 、、 分别是正方形 三条边的三等分点，如果正方形的边长是 ，那么阴影部分的面积是多少？ 【答案】     【分析】    把另外三个三等分点标出之后，正方形的 个边就都被分成了相等的三段．把 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了 个形状各不相同的三角形．这个三角形的底边分别是在正方形的 个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了 个三角形，右边三角形的面积和第 第 个三角形相等：中间三角形的面积和第 第 个三角形相等；左边三角形的面积和第 个第 个三角形相等． 因此这 个阴影三角形的面积分别是 、 和 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是 ，阴影部分的面积就是 ． 120. 如图，在长方形 中， 厘米， 厘米，，求阴影部分的面积． 【答案】     平方厘米 【分析】    连接 ，在梯形 中，由梯形基本结论知：， 由一半模型得所以 又 ，（平方厘米）又 （平方厘米）所以 （平方厘米） 121. 如图所示，长方形的面积是 平方厘米，其内 条长度相等且两两夹角为 的线段将长方形分成了两个梯形和一个三角形，请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    连结 、，如图所示，从中容易看出，、 和 都是顶角为 的等腰三角形，它们的底角都是 ，因此 的三个角都是 ，是一个正三角形． 这样一来，、 和 的面积都相等，它们的面积之和是 的面积，即长方形面积的一半 平方厘米，因此这 个三角形的面积都是 平方厘米． 大长方形由 个梯形以及 组成，那么 个梯形的面积就是 平方厘米． 122. 如图， 是一个平行四边形， 是一个直角三角形，他们组成了梯形 ．如果这个梯形的上底、下底和高分别为 、 和 ，则图中阴影部分面积为是多少平方厘米？ 【答案】     【分析】    用梯形面积减去三角形 的面积和三角形 的面积，且三角形 面积为平行四边形 面积的一半，因此，因此阴影面积为 $