专题11.1 平方根-重难点题型-2021-2022学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）【学科网名师堂】

专题11.1 平方根-重难点题型 【华东师大版】 【知识点1 平方根的概念及表示】 ①定义：如果，那么叫做的平方根，也称为二次方根. ②表示方法：正数的正的平方根记作，负的平方根记作，正数的两个平方根记作，读作正、 负根号，其中叫做被开方数. 【题型1 平方根的概念及表示】 【例1】（2021春•景县月考）“的平方根是±”用数学式子可表示为（　　） A．± B． C．±± D． 【分析】根据一个正数有两个平方根，可得平方根的表示方法． 【解答】解：， 故选：C． 【点评】本题考查了平方根，注意一个正数有两个平方根． 【变式1-1】（2020秋•惠山区校级月考）下列语句正确的是（　　） A．10的平方根是100 B．100的平方根是10 C．﹣2是﹣4的平方根 D．的平方根是± 【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数可对A、B、D进行判断；根据负数没有平方根可对C进行判断． 【解答】解：A、10的平方根是±，所以A选项错误； B、100的平方根是±10，所以B选项错误； C、﹣4没有平方根，所以C选项错误； D、的平方根为±，所以D选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，记作±（a≥0）． 【变式1-2】（2020春•潮南区期末）实数1﹣3a有平方根，则a可以取的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据平方根的性质求出a的范围，从而得出答案． 【解答】解：∵实数1﹣3a有平方根， ∴1﹣3a≥0， 解得a， 故选：A． 【点评】本题主要考查平方根，平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 【变式1-3】（2021•九龙坡区期中）若﹣2xay与5x3yb的和是单项式，则（a+b）2的平方根是（　　） A．2 B．±2 C．4 D．±4 【分析】若﹣2xay与5x3yb的和是单项式，可知﹣2xay与5x3yb是同类项，根据同类项的定义求出a，b，再代入计算即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：﹣2xay与5x3yb是同类项， ∴a＝3，b＝1， ∴（a+b）2＝（3+1）2＝16，16的平方根是±4． 故选：D． 【点评】本题考查合并同类项，解题的关键正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 【知识点2 平方根的性质】 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 【题型2 平方根的性质】 【例2】（2021春•阳谷县月考）已知3m﹣1和﹣2m﹣2是某正数a的平方根，则a的值是（　　） A．3 B．64 C．3或 D．64或 【分析】3m﹣1与﹣2m﹣2相等或者互为相反数，分别求出m的值，再求出3m﹣1的值，最后求出a的值． 【解答】解：根据题意得：3m﹣1＝﹣2m﹣2或3m﹣1+（﹣2m﹣2）＝0， 解得：m或3， 当m时， 3m﹣1， ∴a； 当m＝3时， 3m﹣1＝8， ∴a＝64； 故选：D． 【点评】本题考查了平方根的定义，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解． 【变式2-1】（2020春•孟村县期中）已知正实数x的两个平方根是m和m+b． （1）当b＝8时，m的值是　 　； （2）若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝　 　． 【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值； （2）利用平方根的定义得到（m+b）2＝x，m2＝x，代入式子m2x+（m+b）2x＝4即可求出x值． 【解答】解：（1）∵正实数x的平方根是m和m+b ∴m+m+b＝0， ∵b＝8， ∴2m+8＝0 ∴m＝﹣4； （2）∵正实数x的平方根是m和m+b， ∴（m+b）2＝x，m2＝x， ∵m2x+（m+b）2x＝4， ∴x2+x2＝4， ∴x2＝2， ∵x＞0， ∴x． 故答案为：（1）4；（2）． 【点评】本题考查了平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 【变式2-2】（2020春•高新区校级期中）已知2x﹣y的平方根为±3，﹣4是3x+y的一个平方根，求x﹣y的平方根． 【分析】根据平方根的意义可知2x﹣y＝9，3x+9＝16，进而求出x、y的值，代入求出x﹣y的值，最后求出其平方根． 【解答】解：∵2x﹣y的平方根为±3， ∴2x﹣y＝9， 又∵﹣4是3x+y的一个平方根， ∴3x+y＝16， ∴x＝5，y＝1， 因此x﹣y＝5﹣1＝4， 所以4的平方根为±2， 答：x﹣y的平方根为±2． 【点评】本题考查平方根的意义和计算方法，理解平方根的意义是解决问题的前提． 【变式2-3】（2021春•东城区校级期中）已知正实数x的平方根是n和n+a（a＞0）． （1）当a＝6时，求n的值； （2）若n2+（n+a）2＝8，求a﹣n的