专题05 概率【知识梳理】-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（新人教A版2019）

专题05 概率【知识梳理】 姓名__________ 班级____________ 1、 事件与概率 1.样本点和样本空间 随机试验的每一个可能的结果称为样本点，记作ω；随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，记作Ω. 2.概率与频率 (1)概率定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率eq \f(m,n)，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A). (2)概率与频率的关系：概率可以通过频率来“测量”，频率是概率的一个近似. 3.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B A＝B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅ P(A∪B)＝1 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B). ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B). 【例题1】从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是（ ） A．A与C互斥 B．B与C互斥 C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥 【答案】D 【详解】 由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥. 故答案选：D 【例题2】如果事件A，B互斥，那么（ ） A．A∪B是必然事件 B．A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件 C．A的对立事件与B的对立事件是互斥事件 D．A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件 【答案】B 【详解】 A. 因为事件A，B互斥，若对立，则A∪B是必然事件，若不对立，则A∪B不是必然事件，故错误； B. A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件，故正确； C. 若事件A，B互斥，不对立，则 A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件，故错误； D. 若事件A，B互斥，且对立，则A的对立事件与B的对立事件是对立事件，故错误； 故选：B 【变式训练1】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（ ） A．A⊆D B．B∩D＝ C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D 【变式训练2】从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少有一个红球 C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D．至少有一个黑球与都是红球 【变式训练3】下列命题中正确的是（ ） A．事件 发生的概率 等于事件 发生的频率 B．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是 ，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点 C．掷两枚质地均匀的硬币，事件 为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件 为“两枚都是正面朝上”，则 D．对于两个事件 、 ，若 ，则事件 与事件 互斥 2、 古典概型 1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同. 3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是eq \f(1,n)；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝eq \f(m,n). 4.古典概型的概率公式 P(A)＝eq \f(事件A包含的可能结果数,试验的所有可能结果数). 【例题1】从含有 件正品 件次品的 件产品中，任意取出 件产品，则取出的 件产品中至少有一件次品的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解