专题5 空间直线、平面的位置关系（知识点串讲）-2020-2021学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019·浙江）

2020-2021学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019·浙江） 专题5 空间直线、平面的位置关系 【知识网格】 【知识讲练】 知识点一 平面 1．平面 描述 几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限__延展__的 画法 通常把水平的平面画成一个__平行四边形__，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的__2__倍，如图1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用__虚线__画出来，如图2所示 记法 (1) 用一个__希腊字母__α，β，γ等来表示，如上图1中的平面记为平面α (2) 用两个大写的__英文字母__(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如上图1中平面记为平面AC或平面BD (3) 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如上图1中的平面记为平面ABC或平面__BCD__等 (4) 用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形__顶点__)来表示，如上图1中的平面可记为平面ABCD 2．点、线、面的位置关系的表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 __A∈l__ A在l外 __A∉l__ A在α内 __A∈α__ A在α外 __A∉α__ l在α内 __l⊂α__ l在α外 __l⊄α__ 或 l，m相交于A __l∩m＝A__ l，α相交于A __l∩α＝A__ α，β相交于l __α∩β＝l__ 3．公理1 文字语言 如果一条直线上的__两点__在一个平面内，那么这条直线在此平面内 图形 语言 符号语言 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒__l⊂α__ 作用 判断点在平面内 判断直线在平面内 用直线检验平面 4．公理2 文字语言 过__不共线__的三点，有且只有一个平面 图形 语言 符号语言 A，B，C三点__不共线__⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α 作用 确定平面 证明点共面 5．公理3 文字 语言 如果两个不重合的平面有一个__公共点__，那么它们有且只有一条过该点的公共__直线__ 图形 语言 符号语言 P∈α∩β⇒α∩β＝l且__P∈l__ 作用 (1) 判定平面相交 (2) 证明点共线 (3) 证明线共点 例1. （2021·广西梧州市·）如图所示，在空间四边形 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，点 ， 分别是边 ， 上的点，且 ，则下列说法正确的是（ ） ① ， ， ， 四点共面； ② 与 异面； ③ 与 的交点 可能在直线 上，也可能不在直线 上； ④ 与 的交点 一定在直线 上． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式训练1-1】（2021·全国高一期末）A，B，C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正确的是（ ） A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α B．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α⇒α∩β＝直线AB C．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合 D．l α，n α，l∩n＝A⇒l与n不能确定唯一平面 【变式训练1-2】（2021·全国高一课时练习）下列命题中，正确的是（ ） A．3点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形是平面图形 D．三角形是平面图形 【归纳总结】 1.从集合的角度理解点、线、面之间的位置关系 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示． (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示． (3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示． 2.(1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”． (2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形惟一，强调的是存在和惟一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和惟一性这两个方面，这个术语会常常出现． 知识点二 空间中直线与直线之间的位置关系 1．异面直线 (1)概念：不同在__任何一个__平面内的两条直线叫做异面直线． [归纳总结]　对定义可作如下理解：“不同在任何一个平面内的两条直线”是指不存在一个平面同时经过这两条直线，或者说找不到